-0,000 282 005 913 32 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 32(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 32(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 32| = 0,000 282 005 913 32


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 32.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 32 × 2 = 0 + 0,000 564 011 826 64;
  • 2) 0,000 564 011 826 64 × 2 = 0 + 0,001 128 023 653 28;
  • 3) 0,001 128 023 653 28 × 2 = 0 + 0,002 256 047 306 56;
  • 4) 0,002 256 047 306 56 × 2 = 0 + 0,004 512 094 613 12;
  • 5) 0,004 512 094 613 12 × 2 = 0 + 0,009 024 189 226 24;
  • 6) 0,009 024 189 226 24 × 2 = 0 + 0,018 048 378 452 48;
  • 7) 0,018 048 378 452 48 × 2 = 0 + 0,036 096 756 904 96;
  • 8) 0,036 096 756 904 96 × 2 = 0 + 0,072 193 513 809 92;
  • 9) 0,072 193 513 809 92 × 2 = 0 + 0,144 387 027 619 84;
  • 10) 0,144 387 027 619 84 × 2 = 0 + 0,288 774 055 239 68;
  • 11) 0,288 774 055 239 68 × 2 = 0 + 0,577 548 110 479 36;
  • 12) 0,577 548 110 479 36 × 2 = 1 + 0,155 096 220 958 72;
  • 13) 0,155 096 220 958 72 × 2 = 0 + 0,310 192 441 917 44;
  • 14) 0,310 192 441 917 44 × 2 = 0 + 0,620 384 883 834 88;
  • 15) 0,620 384 883 834 88 × 2 = 1 + 0,240 769 767 669 76;
  • 16) 0,240 769 767 669 76 × 2 = 0 + 0,481 539 535 339 52;
  • 17) 0,481 539 535 339 52 × 2 = 0 + 0,963 079 070 679 04;
  • 18) 0,963 079 070 679 04 × 2 = 1 + 0,926 158 141 358 08;
  • 19) 0,926 158 141 358 08 × 2 = 1 + 0,852 316 282 716 16;
  • 20) 0,852 316 282 716 16 × 2 = 1 + 0,704 632 565 432 32;
  • 21) 0,704 632 565 432 32 × 2 = 1 + 0,409 265 130 864 64;
  • 22) 0,409 265 130 864 64 × 2 = 0 + 0,818 530 261 729 28;
  • 23) 0,818 530 261 729 28 × 2 = 1 + 0,637 060 523 458 56;
  • 24) 0,637 060 523 458 56 × 2 = 1 + 0,274 121 046 917 12;
  • 25) 0,274 121 046 917 12 × 2 = 0 + 0,548 242 093 834 24;
  • 26) 0,548 242 093 834 24 × 2 = 1 + 0,096 484 187 668 48;
  • 27) 0,096 484 187 668 48 × 2 = 0 + 0,192 968 375 336 96;
  • 28) 0,192 968 375 336 96 × 2 = 0 + 0,385 936 750 673 92;
  • 29) 0,385 936 750 673 92 × 2 = 0 + 0,771 873 501 347 84;
  • 30) 0,771 873 501 347 84 × 2 = 1 + 0,543 747 002 695 68;
  • 31) 0,543 747 002 695 68 × 2 = 1 + 0,087 494 005 391 36;
  • 32) 0,087 494 005 391 36 × 2 = 0 + 0,174 988 010 782 72;
  • 33) 0,174 988 010 782 72 × 2 = 0 + 0,349 976 021 565 44;
  • 34) 0,349 976 021 565 44 × 2 = 0 + 0,699 952 043 130 88;
  • 35) 0,699 952 043 130 88 × 2 = 1 + 0,399 904 086 261 76;
  • 36) 0,399 904 086 261 76 × 2 = 0 + 0,799 808 172 523 52;
  • 37) 0,799 808 172 523 52 × 2 = 1 + 0,599 616 345 047 04;
  • 38) 0,599 616 345 047 04 × 2 = 1 + 0,199 232 690 094 08;
  • 39) 0,199 232 690 094 08 × 2 = 0 + 0,398 465 380 188 16;
  • 40) 0,398 465 380 188 16 × 2 = 0 + 0,796 930 760 376 32;
  • 41) 0,796 930 760 376 32 × 2 = 1 + 0,593 861 520 752 64;
  • 42) 0,593 861 520 752 64 × 2 = 1 + 0,187 723 041 505 28;
  • 43) 0,187 723 041 505 28 × 2 = 0 + 0,375 446 083 010 56;
  • 44) 0,375 446 083 010 56 × 2 = 0 + 0,750 892 166 021 12;
  • 45) 0,750 892 166 021 12 × 2 = 1 + 0,501 784 332 042 24;
  • 46) 0,501 784 332 042 24 × 2 = 1 + 0,003 568 664 084 48;
  • 47) 0,003 568 664 084 48 × 2 = 0 + 0,007 137 328 168 96;
  • 48) 0,007 137 328 168 96 × 2 = 0 + 0,014 274 656 337 92;
  • 49) 0,014 274 656 337 92 × 2 = 0 + 0,028 549 312 675 84;
  • 50) 0,028 549 312 675 84 × 2 = 0 + 0,057 098 625 351 68;
  • 51) 0,057 098 625 351 68 × 2 = 0 + 0,114 197 250 703 36;
  • 52) 0,114 197 250 703 36 × 2 = 0 + 0,228 394 501 406 72;
  • 53) 0,228 394 501 406 72 × 2 = 0 + 0,456 789 002 813 44;
  • 54) 0,456 789 002 813 44 × 2 = 0 + 0,913 578 005 626 88;
  • 55) 0,913 578 005 626 88 × 2 = 1 + 0,827 156 011 253 76;
  • 56) 0,827 156 011 253 76 × 2 = 1 + 0,654 312 022 507 52;
  • 57) 0,654 312 022 507 52 × 2 = 1 + 0,308 624 045 015 04;
  • 58) 0,308 624 045 015 04 × 2 = 0 + 0,617 248 090 030 08;
  • 59) 0,617 248 090 030 08 × 2 = 1 + 0,234 496 180 060 16;
  • 60) 0,234 496 180 060 16 × 2 = 0 + 0,468 992 360 120 32;
  • 61) 0,468 992 360 120 32 × 2 = 0 + 0,937 984 720 240 64;
  • 62) 0,937 984 720 240 64 × 2 = 1 + 0,875 969 440 481 28;
  • 63) 0,875 969 440 481 28 × 2 = 1 + 0,751 938 880 962 56;
  • 64) 0,751 938 880 962 56 × 2 = 1 + 0,503 877 761 925 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 32(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1100 0000 0011 1010 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 32(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1100 0000 0011 1010 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 32(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1100 0000 0011 1010 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1100 0000 0011 1010 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1100 0000 0011 1010 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1100 0000 0011 1010 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1100 0000 0011 1010 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1100 0000 0011 1010 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1100 0000 0011 1010 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 32 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1100 1100 0000 0011 1010 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 34 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100