-0,000 282 005 913 38 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 38(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 38(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 38| = 0,000 282 005 913 38


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 38.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 38 × 2 = 0 + 0,000 564 011 826 76;
  • 2) 0,000 564 011 826 76 × 2 = 0 + 0,001 128 023 653 52;
  • 3) 0,001 128 023 653 52 × 2 = 0 + 0,002 256 047 307 04;
  • 4) 0,002 256 047 307 04 × 2 = 0 + 0,004 512 094 614 08;
  • 5) 0,004 512 094 614 08 × 2 = 0 + 0,009 024 189 228 16;
  • 6) 0,009 024 189 228 16 × 2 = 0 + 0,018 048 378 456 32;
  • 7) 0,018 048 378 456 32 × 2 = 0 + 0,036 096 756 912 64;
  • 8) 0,036 096 756 912 64 × 2 = 0 + 0,072 193 513 825 28;
  • 9) 0,072 193 513 825 28 × 2 = 0 + 0,144 387 027 650 56;
  • 10) 0,144 387 027 650 56 × 2 = 0 + 0,288 774 055 301 12;
  • 11) 0,288 774 055 301 12 × 2 = 0 + 0,577 548 110 602 24;
  • 12) 0,577 548 110 602 24 × 2 = 1 + 0,155 096 221 204 48;
  • 13) 0,155 096 221 204 48 × 2 = 0 + 0,310 192 442 408 96;
  • 14) 0,310 192 442 408 96 × 2 = 0 + 0,620 384 884 817 92;
  • 15) 0,620 384 884 817 92 × 2 = 1 + 0,240 769 769 635 84;
  • 16) 0,240 769 769 635 84 × 2 = 0 + 0,481 539 539 271 68;
  • 17) 0,481 539 539 271 68 × 2 = 0 + 0,963 079 078 543 36;
  • 18) 0,963 079 078 543 36 × 2 = 1 + 0,926 158 157 086 72;
  • 19) 0,926 158 157 086 72 × 2 = 1 + 0,852 316 314 173 44;
  • 20) 0,852 316 314 173 44 × 2 = 1 + 0,704 632 628 346 88;
  • 21) 0,704 632 628 346 88 × 2 = 1 + 0,409 265 256 693 76;
  • 22) 0,409 265 256 693 76 × 2 = 0 + 0,818 530 513 387 52;
  • 23) 0,818 530 513 387 52 × 2 = 1 + 0,637 061 026 775 04;
  • 24) 0,637 061 026 775 04 × 2 = 1 + 0,274 122 053 550 08;
  • 25) 0,274 122 053 550 08 × 2 = 0 + 0,548 244 107 100 16;
  • 26) 0,548 244 107 100 16 × 2 = 1 + 0,096 488 214 200 32;
  • 27) 0,096 488 214 200 32 × 2 = 0 + 0,192 976 428 400 64;
  • 28) 0,192 976 428 400 64 × 2 = 0 + 0,385 952 856 801 28;
  • 29) 0,385 952 856 801 28 × 2 = 0 + 0,771 905 713 602 56;
  • 30) 0,771 905 713 602 56 × 2 = 1 + 0,543 811 427 205 12;
  • 31) 0,543 811 427 205 12 × 2 = 1 + 0,087 622 854 410 24;
  • 32) 0,087 622 854 410 24 × 2 = 0 + 0,175 245 708 820 48;
  • 33) 0,175 245 708 820 48 × 2 = 0 + 0,350 491 417 640 96;
  • 34) 0,350 491 417 640 96 × 2 = 0 + 0,700 982 835 281 92;
  • 35) 0,700 982 835 281 92 × 2 = 1 + 0,401 965 670 563 84;
  • 36) 0,401 965 670 563 84 × 2 = 0 + 0,803 931 341 127 68;
  • 37) 0,803 931 341 127 68 × 2 = 1 + 0,607 862 682 255 36;
  • 38) 0,607 862 682 255 36 × 2 = 1 + 0,215 725 364 510 72;
  • 39) 0,215 725 364 510 72 × 2 = 0 + 0,431 450 729 021 44;
  • 40) 0,431 450 729 021 44 × 2 = 0 + 0,862 901 458 042 88;
  • 41) 0,862 901 458 042 88 × 2 = 1 + 0,725 802 916 085 76;
  • 42) 0,725 802 916 085 76 × 2 = 1 + 0,451 605 832 171 52;
  • 43) 0,451 605 832 171 52 × 2 = 0 + 0,903 211 664 343 04;
  • 44) 0,903 211 664 343 04 × 2 = 1 + 0,806 423 328 686 08;
  • 45) 0,806 423 328 686 08 × 2 = 1 + 0,612 846 657 372 16;
  • 46) 0,612 846 657 372 16 × 2 = 1 + 0,225 693 314 744 32;
  • 47) 0,225 693 314 744 32 × 2 = 0 + 0,451 386 629 488 64;
  • 48) 0,451 386 629 488 64 × 2 = 0 + 0,902 773 258 977 28;
  • 49) 0,902 773 258 977 28 × 2 = 1 + 0,805 546 517 954 56;
  • 50) 0,805 546 517 954 56 × 2 = 1 + 0,611 093 035 909 12;
  • 51) 0,611 093 035 909 12 × 2 = 1 + 0,222 186 071 818 24;
  • 52) 0,222 186 071 818 24 × 2 = 0 + 0,444 372 143 636 48;
  • 53) 0,444 372 143 636 48 × 2 = 0 + 0,888 744 287 272 96;
  • 54) 0,888 744 287 272 96 × 2 = 1 + 0,777 488 574 545 92;
  • 55) 0,777 488 574 545 92 × 2 = 1 + 0,554 977 149 091 84;
  • 56) 0,554 977 149 091 84 × 2 = 1 + 0,109 954 298 183 68;
  • 57) 0,109 954 298 183 68 × 2 = 0 + 0,219 908 596 367 36;
  • 58) 0,219 908 596 367 36 × 2 = 0 + 0,439 817 192 734 72;
  • 59) 0,439 817 192 734 72 × 2 = 0 + 0,879 634 385 469 44;
  • 60) 0,879 634 385 469 44 × 2 = 1 + 0,759 268 770 938 88;
  • 61) 0,759 268 770 938 88 × 2 = 1 + 0,518 537 541 877 76;
  • 62) 0,518 537 541 877 76 × 2 = 1 + 0,037 075 083 755 52;
  • 63) 0,037 075 083 755 52 × 2 = 0 + 0,074 150 167 511 04;
  • 64) 0,074 150 167 511 04 × 2 = 0 + 0,148 300 335 022 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 38(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 1100 1110 0111 0001 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 38(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 1100 1110 0111 0001 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 38(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 1100 1110 0111 0001 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 1100 1110 0111 0001 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 1100 1110 0111 0001 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 1100 1110 0111 0001 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 1100 1110 0111 0001 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 1100 1110 0111 0001 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 1100 1110 0111 0001 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 38 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1100 1101 1100 1110 0111 0001 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 79 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100