-0,000 282 005 913 51 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 51(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 51(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 51| = 0,000 282 005 913 51


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 51.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 51 × 2 = 0 + 0,000 564 011 827 02;
  • 2) 0,000 564 011 827 02 × 2 = 0 + 0,001 128 023 654 04;
  • 3) 0,001 128 023 654 04 × 2 = 0 + 0,002 256 047 308 08;
  • 4) 0,002 256 047 308 08 × 2 = 0 + 0,004 512 094 616 16;
  • 5) 0,004 512 094 616 16 × 2 = 0 + 0,009 024 189 232 32;
  • 6) 0,009 024 189 232 32 × 2 = 0 + 0,018 048 378 464 64;
  • 7) 0,018 048 378 464 64 × 2 = 0 + 0,036 096 756 929 28;
  • 8) 0,036 096 756 929 28 × 2 = 0 + 0,072 193 513 858 56;
  • 9) 0,072 193 513 858 56 × 2 = 0 + 0,144 387 027 717 12;
  • 10) 0,144 387 027 717 12 × 2 = 0 + 0,288 774 055 434 24;
  • 11) 0,288 774 055 434 24 × 2 = 0 + 0,577 548 110 868 48;
  • 12) 0,577 548 110 868 48 × 2 = 1 + 0,155 096 221 736 96;
  • 13) 0,155 096 221 736 96 × 2 = 0 + 0,310 192 443 473 92;
  • 14) 0,310 192 443 473 92 × 2 = 0 + 0,620 384 886 947 84;
  • 15) 0,620 384 886 947 84 × 2 = 1 + 0,240 769 773 895 68;
  • 16) 0,240 769 773 895 68 × 2 = 0 + 0,481 539 547 791 36;
  • 17) 0,481 539 547 791 36 × 2 = 0 + 0,963 079 095 582 72;
  • 18) 0,963 079 095 582 72 × 2 = 1 + 0,926 158 191 165 44;
  • 19) 0,926 158 191 165 44 × 2 = 1 + 0,852 316 382 330 88;
  • 20) 0,852 316 382 330 88 × 2 = 1 + 0,704 632 764 661 76;
  • 21) 0,704 632 764 661 76 × 2 = 1 + 0,409 265 529 323 52;
  • 22) 0,409 265 529 323 52 × 2 = 0 + 0,818 531 058 647 04;
  • 23) 0,818 531 058 647 04 × 2 = 1 + 0,637 062 117 294 08;
  • 24) 0,637 062 117 294 08 × 2 = 1 + 0,274 124 234 588 16;
  • 25) 0,274 124 234 588 16 × 2 = 0 + 0,548 248 469 176 32;
  • 26) 0,548 248 469 176 32 × 2 = 1 + 0,096 496 938 352 64;
  • 27) 0,096 496 938 352 64 × 2 = 0 + 0,192 993 876 705 28;
  • 28) 0,192 993 876 705 28 × 2 = 0 + 0,385 987 753 410 56;
  • 29) 0,385 987 753 410 56 × 2 = 0 + 0,771 975 506 821 12;
  • 30) 0,771 975 506 821 12 × 2 = 1 + 0,543 951 013 642 24;
  • 31) 0,543 951 013 642 24 × 2 = 1 + 0,087 902 027 284 48;
  • 32) 0,087 902 027 284 48 × 2 = 0 + 0,175 804 054 568 96;
  • 33) 0,175 804 054 568 96 × 2 = 0 + 0,351 608 109 137 92;
  • 34) 0,351 608 109 137 92 × 2 = 0 + 0,703 216 218 275 84;
  • 35) 0,703 216 218 275 84 × 2 = 1 + 0,406 432 436 551 68;
  • 36) 0,406 432 436 551 68 × 2 = 0 + 0,812 864 873 103 36;
  • 37) 0,812 864 873 103 36 × 2 = 1 + 0,625 729 746 206 72;
  • 38) 0,625 729 746 206 72 × 2 = 1 + 0,251 459 492 413 44;
  • 39) 0,251 459 492 413 44 × 2 = 0 + 0,502 918 984 826 88;
  • 40) 0,502 918 984 826 88 × 2 = 1 + 0,005 837 969 653 76;
  • 41) 0,005 837 969 653 76 × 2 = 0 + 0,011 675 939 307 52;
  • 42) 0,011 675 939 307 52 × 2 = 0 + 0,023 351 878 615 04;
  • 43) 0,023 351 878 615 04 × 2 = 0 + 0,046 703 757 230 08;
  • 44) 0,046 703 757 230 08 × 2 = 0 + 0,093 407 514 460 16;
  • 45) 0,093 407 514 460 16 × 2 = 0 + 0,186 815 028 920 32;
  • 46) 0,186 815 028 920 32 × 2 = 0 + 0,373 630 057 840 64;
  • 47) 0,373 630 057 840 64 × 2 = 0 + 0,747 260 115 681 28;
  • 48) 0,747 260 115 681 28 × 2 = 1 + 0,494 520 231 362 56;
  • 49) 0,494 520 231 362 56 × 2 = 0 + 0,989 040 462 725 12;
  • 50) 0,989 040 462 725 12 × 2 = 1 + 0,978 080 925 450 24;
  • 51) 0,978 080 925 450 24 × 2 = 1 + 0,956 161 850 900 48;
  • 52) 0,956 161 850 900 48 × 2 = 1 + 0,912 323 701 800 96;
  • 53) 0,912 323 701 800 96 × 2 = 1 + 0,824 647 403 601 92;
  • 54) 0,824 647 403 601 92 × 2 = 1 + 0,649 294 807 203 84;
  • 55) 0,649 294 807 203 84 × 2 = 1 + 0,298 589 614 407 68;
  • 56) 0,298 589 614 407 68 × 2 = 0 + 0,597 179 228 815 36;
  • 57) 0,597 179 228 815 36 × 2 = 1 + 0,194 358 457 630 72;
  • 58) 0,194 358 457 630 72 × 2 = 0 + 0,388 716 915 261 44;
  • 59) 0,388 716 915 261 44 × 2 = 0 + 0,777 433 830 522 88;
  • 60) 0,777 433 830 522 88 × 2 = 1 + 0,554 867 661 045 76;
  • 61) 0,554 867 661 045 76 × 2 = 1 + 0,109 735 322 091 52;
  • 62) 0,109 735 322 091 52 × 2 = 0 + 0,219 470 644 183 04;
  • 63) 0,219 470 644 183 04 × 2 = 0 + 0,438 941 288 366 08;
  • 64) 0,438 941 288 366 08 × 2 = 0 + 0,877 882 576 732 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 51(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 0001 0111 1110 1001 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 51(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 0001 0111 1110 1001 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 51(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 0001 0111 1110 1001 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 0001 0111 1110 1001 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 0001 0111 1110 1001 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 0001 0111 1110 1001 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 0001 0111 1110 1001 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 0001 0111 1110 1001 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 0001 0111 1110 1001 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 51 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 0001 0111 1110 1001 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 34 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100