-0,000 282 005 913 54 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 54(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 54(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 54| = 0,000 282 005 913 54


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 54.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 54 × 2 = 0 + 0,000 564 011 827 08;
  • 2) 0,000 564 011 827 08 × 2 = 0 + 0,001 128 023 654 16;
  • 3) 0,001 128 023 654 16 × 2 = 0 + 0,002 256 047 308 32;
  • 4) 0,002 256 047 308 32 × 2 = 0 + 0,004 512 094 616 64;
  • 5) 0,004 512 094 616 64 × 2 = 0 + 0,009 024 189 233 28;
  • 6) 0,009 024 189 233 28 × 2 = 0 + 0,018 048 378 466 56;
  • 7) 0,018 048 378 466 56 × 2 = 0 + 0,036 096 756 933 12;
  • 8) 0,036 096 756 933 12 × 2 = 0 + 0,072 193 513 866 24;
  • 9) 0,072 193 513 866 24 × 2 = 0 + 0,144 387 027 732 48;
  • 10) 0,144 387 027 732 48 × 2 = 0 + 0,288 774 055 464 96;
  • 11) 0,288 774 055 464 96 × 2 = 0 + 0,577 548 110 929 92;
  • 12) 0,577 548 110 929 92 × 2 = 1 + 0,155 096 221 859 84;
  • 13) 0,155 096 221 859 84 × 2 = 0 + 0,310 192 443 719 68;
  • 14) 0,310 192 443 719 68 × 2 = 0 + 0,620 384 887 439 36;
  • 15) 0,620 384 887 439 36 × 2 = 1 + 0,240 769 774 878 72;
  • 16) 0,240 769 774 878 72 × 2 = 0 + 0,481 539 549 757 44;
  • 17) 0,481 539 549 757 44 × 2 = 0 + 0,963 079 099 514 88;
  • 18) 0,963 079 099 514 88 × 2 = 1 + 0,926 158 199 029 76;
  • 19) 0,926 158 199 029 76 × 2 = 1 + 0,852 316 398 059 52;
  • 20) 0,852 316 398 059 52 × 2 = 1 + 0,704 632 796 119 04;
  • 21) 0,704 632 796 119 04 × 2 = 1 + 0,409 265 592 238 08;
  • 22) 0,409 265 592 238 08 × 2 = 0 + 0,818 531 184 476 16;
  • 23) 0,818 531 184 476 16 × 2 = 1 + 0,637 062 368 952 32;
  • 24) 0,637 062 368 952 32 × 2 = 1 + 0,274 124 737 904 64;
  • 25) 0,274 124 737 904 64 × 2 = 0 + 0,548 249 475 809 28;
  • 26) 0,548 249 475 809 28 × 2 = 1 + 0,096 498 951 618 56;
  • 27) 0,096 498 951 618 56 × 2 = 0 + 0,192 997 903 237 12;
  • 28) 0,192 997 903 237 12 × 2 = 0 + 0,385 995 806 474 24;
  • 29) 0,385 995 806 474 24 × 2 = 0 + 0,771 991 612 948 48;
  • 30) 0,771 991 612 948 48 × 2 = 1 + 0,543 983 225 896 96;
  • 31) 0,543 983 225 896 96 × 2 = 1 + 0,087 966 451 793 92;
  • 32) 0,087 966 451 793 92 × 2 = 0 + 0,175 932 903 587 84;
  • 33) 0,175 932 903 587 84 × 2 = 0 + 0,351 865 807 175 68;
  • 34) 0,351 865 807 175 68 × 2 = 0 + 0,703 731 614 351 36;
  • 35) 0,703 731 614 351 36 × 2 = 1 + 0,407 463 228 702 72;
  • 36) 0,407 463 228 702 72 × 2 = 0 + 0,814 926 457 405 44;
  • 37) 0,814 926 457 405 44 × 2 = 1 + 0,629 852 914 810 88;
  • 38) 0,629 852 914 810 88 × 2 = 1 + 0,259 705 829 621 76;
  • 39) 0,259 705 829 621 76 × 2 = 0 + 0,519 411 659 243 52;
  • 40) 0,519 411 659 243 52 × 2 = 1 + 0,038 823 318 487 04;
  • 41) 0,038 823 318 487 04 × 2 = 0 + 0,077 646 636 974 08;
  • 42) 0,077 646 636 974 08 × 2 = 0 + 0,155 293 273 948 16;
  • 43) 0,155 293 273 948 16 × 2 = 0 + 0,310 586 547 896 32;
  • 44) 0,310 586 547 896 32 × 2 = 0 + 0,621 173 095 792 64;
  • 45) 0,621 173 095 792 64 × 2 = 1 + 0,242 346 191 585 28;
  • 46) 0,242 346 191 585 28 × 2 = 0 + 0,484 692 383 170 56;
  • 47) 0,484 692 383 170 56 × 2 = 0 + 0,969 384 766 341 12;
  • 48) 0,969 384 766 341 12 × 2 = 1 + 0,938 769 532 682 24;
  • 49) 0,938 769 532 682 24 × 2 = 1 + 0,877 539 065 364 48;
  • 50) 0,877 539 065 364 48 × 2 = 1 + 0,755 078 130 728 96;
  • 51) 0,755 078 130 728 96 × 2 = 1 + 0,510 156 261 457 92;
  • 52) 0,510 156 261 457 92 × 2 = 1 + 0,020 312 522 915 84;
  • 53) 0,020 312 522 915 84 × 2 = 0 + 0,040 625 045 831 68;
  • 54) 0,040 625 045 831 68 × 2 = 0 + 0,081 250 091 663 36;
  • 55) 0,081 250 091 663 36 × 2 = 0 + 0,162 500 183 326 72;
  • 56) 0,162 500 183 326 72 × 2 = 0 + 0,325 000 366 653 44;
  • 57) 0,325 000 366 653 44 × 2 = 0 + 0,650 000 733 306 88;
  • 58) 0,650 000 733 306 88 × 2 = 1 + 0,300 001 466 613 76;
  • 59) 0,300 001 466 613 76 × 2 = 0 + 0,600 002 933 227 52;
  • 60) 0,600 002 933 227 52 × 2 = 1 + 0,200 005 866 455 04;
  • 61) 0,200 005 866 455 04 × 2 = 0 + 0,400 011 732 910 08;
  • 62) 0,400 011 732 910 08 × 2 = 0 + 0,800 023 465 820 16;
  • 63) 0,800 023 465 820 16 × 2 = 1 + 0,600 046 931 640 32;
  • 64) 0,600 046 931 640 32 × 2 = 1 + 0,200 093 863 280 64;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 54(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 1001 1111 0000 0101 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 54(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 1001 1111 0000 0101 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 54(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 1001 1111 0000 0101 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 1001 1111 0000 0101 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 1001 1111 0000 0101 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 1001 1111 0000 0101 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 1001 1111 0000 0101 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 1001 1111 0000 0101 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 1001 1111 0000 0101 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 54 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0000 1001 1111 0000 0101 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 06 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100