-0,000 282 005 920 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 920 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 920 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 920 7| = 0,000 282 005 920 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 920 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 920 7 × 2 = 0 + 0,000 564 011 841 4;
  • 2) 0,000 564 011 841 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 682 8;
  • 3) 0,001 128 023 682 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 365 6;
  • 4) 0,002 256 047 365 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 731 2;
  • 5) 0,004 512 094 731 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 462 4;
  • 6) 0,009 024 189 462 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 924 8;
  • 7) 0,018 048 378 924 8 × 2 = 0 + 0,036 096 757 849 6;
  • 8) 0,036 096 757 849 6 × 2 = 0 + 0,072 193 515 699 2;
  • 9) 0,072 193 515 699 2 × 2 = 0 + 0,144 387 031 398 4;
  • 10) 0,144 387 031 398 4 × 2 = 0 + 0,288 774 062 796 8;
  • 11) 0,288 774 062 796 8 × 2 = 0 + 0,577 548 125 593 6;
  • 12) 0,577 548 125 593 6 × 2 = 1 + 0,155 096 251 187 2;
  • 13) 0,155 096 251 187 2 × 2 = 0 + 0,310 192 502 374 4;
  • 14) 0,310 192 502 374 4 × 2 = 0 + 0,620 385 004 748 8;
  • 15) 0,620 385 004 748 8 × 2 = 1 + 0,240 770 009 497 6;
  • 16) 0,240 770 009 497 6 × 2 = 0 + 0,481 540 018 995 2;
  • 17) 0,481 540 018 995 2 × 2 = 0 + 0,963 080 037 990 4;
  • 18) 0,963 080 037 990 4 × 2 = 1 + 0,926 160 075 980 8;
  • 19) 0,926 160 075 980 8 × 2 = 1 + 0,852 320 151 961 6;
  • 20) 0,852 320 151 961 6 × 2 = 1 + 0,704 640 303 923 2;
  • 21) 0,704 640 303 923 2 × 2 = 1 + 0,409 280 607 846 4;
  • 22) 0,409 280 607 846 4 × 2 = 0 + 0,818 561 215 692 8;
  • 23) 0,818 561 215 692 8 × 2 = 1 + 0,637 122 431 385 6;
  • 24) 0,637 122 431 385 6 × 2 = 1 + 0,274 244 862 771 2;
  • 25) 0,274 244 862 771 2 × 2 = 0 + 0,548 489 725 542 4;
  • 26) 0,548 489 725 542 4 × 2 = 1 + 0,096 979 451 084 8;
  • 27) 0,096 979 451 084 8 × 2 = 0 + 0,193 958 902 169 6;
  • 28) 0,193 958 902 169 6 × 2 = 0 + 0,387 917 804 339 2;
  • 29) 0,387 917 804 339 2 × 2 = 0 + 0,775 835 608 678 4;
  • 30) 0,775 835 608 678 4 × 2 = 1 + 0,551 671 217 356 8;
  • 31) 0,551 671 217 356 8 × 2 = 1 + 0,103 342 434 713 6;
  • 32) 0,103 342 434 713 6 × 2 = 0 + 0,206 684 869 427 2;
  • 33) 0,206 684 869 427 2 × 2 = 0 + 0,413 369 738 854 4;
  • 34) 0,413 369 738 854 4 × 2 = 0 + 0,826 739 477 708 8;
  • 35) 0,826 739 477 708 8 × 2 = 1 + 0,653 478 955 417 6;
  • 36) 0,653 478 955 417 6 × 2 = 1 + 0,306 957 910 835 2;
  • 37) 0,306 957 910 835 2 × 2 = 0 + 0,613 915 821 670 4;
  • 38) 0,613 915 821 670 4 × 2 = 1 + 0,227 831 643 340 8;
  • 39) 0,227 831 643 340 8 × 2 = 0 + 0,455 663 286 681 6;
  • 40) 0,455 663 286 681 6 × 2 = 0 + 0,911 326 573 363 2;
  • 41) 0,911 326 573 363 2 × 2 = 1 + 0,822 653 146 726 4;
  • 42) 0,822 653 146 726 4 × 2 = 1 + 0,645 306 293 452 8;
  • 43) 0,645 306 293 452 8 × 2 = 1 + 0,290 612 586 905 6;
  • 44) 0,290 612 586 905 6 × 2 = 0 + 0,581 225 173 811 2;
  • 45) 0,581 225 173 811 2 × 2 = 1 + 0,162 450 347 622 4;
  • 46) 0,162 450 347 622 4 × 2 = 0 + 0,324 900 695 244 8;
  • 47) 0,324 900 695 244 8 × 2 = 0 + 0,649 801 390 489 6;
  • 48) 0,649 801 390 489 6 × 2 = 1 + 0,299 602 780 979 2;
  • 49) 0,299 602 780 979 2 × 2 = 0 + 0,599 205 561 958 4;
  • 50) 0,599 205 561 958 4 × 2 = 1 + 0,198 411 123 916 8;
  • 51) 0,198 411 123 916 8 × 2 = 0 + 0,396 822 247 833 6;
  • 52) 0,396 822 247 833 6 × 2 = 0 + 0,793 644 495 667 2;
  • 53) 0,793 644 495 667 2 × 2 = 1 + 0,587 288 991 334 4;
  • 54) 0,587 288 991 334 4 × 2 = 1 + 0,174 577 982 668 8;
  • 55) 0,174 577 982 668 8 × 2 = 0 + 0,349 155 965 337 6;
  • 56) 0,349 155 965 337 6 × 2 = 0 + 0,698 311 930 675 2;
  • 57) 0,698 311 930 675 2 × 2 = 1 + 0,396 623 861 350 4;
  • 58) 0,396 623 861 350 4 × 2 = 0 + 0,793 247 722 700 8;
  • 59) 0,793 247 722 700 8 × 2 = 1 + 0,586 495 445 401 6;
  • 60) 0,586 495 445 401 6 × 2 = 1 + 0,172 990 890 803 2;
  • 61) 0,172 990 890 803 2 × 2 = 0 + 0,345 981 781 606 4;
  • 62) 0,345 981 781 606 4 × 2 = 0 + 0,691 963 563 212 8;
  • 63) 0,691 963 563 212 8 × 2 = 1 + 0,383 927 126 425 6;
  • 64) 0,383 927 126 425 6 × 2 = 0 + 0,767 854 252 851 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 920 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 1110 1001 0100 1100 1011 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 920 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 1110 1001 0100 1100 1011 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 920 7(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 1110 1001 0100 1100 1011 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 1110 1001 0100 1100 1011 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 1110 1001 0100 1100 1011 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 1110 1001 0100 1100 1011 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 1110 1001 0100 1100 1011 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 1110 1001 0100 1100 1011 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 1110 1001 0100 1100 1011 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 920 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0100 1110 1001 0100 1100 1011 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 916 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100