-0,000 282 005 913 64 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 64(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 64(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 64| = 0,000 282 005 913 64


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 64.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 64 × 2 = 0 + 0,000 564 011 827 28;
  • 2) 0,000 564 011 827 28 × 2 = 0 + 0,001 128 023 654 56;
  • 3) 0,001 128 023 654 56 × 2 = 0 + 0,002 256 047 309 12;
  • 4) 0,002 256 047 309 12 × 2 = 0 + 0,004 512 094 618 24;
  • 5) 0,004 512 094 618 24 × 2 = 0 + 0,009 024 189 236 48;
  • 6) 0,009 024 189 236 48 × 2 = 0 + 0,018 048 378 472 96;
  • 7) 0,018 048 378 472 96 × 2 = 0 + 0,036 096 756 945 92;
  • 8) 0,036 096 756 945 92 × 2 = 0 + 0,072 193 513 891 84;
  • 9) 0,072 193 513 891 84 × 2 = 0 + 0,144 387 027 783 68;
  • 10) 0,144 387 027 783 68 × 2 = 0 + 0,288 774 055 567 36;
  • 11) 0,288 774 055 567 36 × 2 = 0 + 0,577 548 111 134 72;
  • 12) 0,577 548 111 134 72 × 2 = 1 + 0,155 096 222 269 44;
  • 13) 0,155 096 222 269 44 × 2 = 0 + 0,310 192 444 538 88;
  • 14) 0,310 192 444 538 88 × 2 = 0 + 0,620 384 889 077 76;
  • 15) 0,620 384 889 077 76 × 2 = 1 + 0,240 769 778 155 52;
  • 16) 0,240 769 778 155 52 × 2 = 0 + 0,481 539 556 311 04;
  • 17) 0,481 539 556 311 04 × 2 = 0 + 0,963 079 112 622 08;
  • 18) 0,963 079 112 622 08 × 2 = 1 + 0,926 158 225 244 16;
  • 19) 0,926 158 225 244 16 × 2 = 1 + 0,852 316 450 488 32;
  • 20) 0,852 316 450 488 32 × 2 = 1 + 0,704 632 900 976 64;
  • 21) 0,704 632 900 976 64 × 2 = 1 + 0,409 265 801 953 28;
  • 22) 0,409 265 801 953 28 × 2 = 0 + 0,818 531 603 906 56;
  • 23) 0,818 531 603 906 56 × 2 = 1 + 0,637 063 207 813 12;
  • 24) 0,637 063 207 813 12 × 2 = 1 + 0,274 126 415 626 24;
  • 25) 0,274 126 415 626 24 × 2 = 0 + 0,548 252 831 252 48;
  • 26) 0,548 252 831 252 48 × 2 = 1 + 0,096 505 662 504 96;
  • 27) 0,096 505 662 504 96 × 2 = 0 + 0,193 011 325 009 92;
  • 28) 0,193 011 325 009 92 × 2 = 0 + 0,386 022 650 019 84;
  • 29) 0,386 022 650 019 84 × 2 = 0 + 0,772 045 300 039 68;
  • 30) 0,772 045 300 039 68 × 2 = 1 + 0,544 090 600 079 36;
  • 31) 0,544 090 600 079 36 × 2 = 1 + 0,088 181 200 158 72;
  • 32) 0,088 181 200 158 72 × 2 = 0 + 0,176 362 400 317 44;
  • 33) 0,176 362 400 317 44 × 2 = 0 + 0,352 724 800 634 88;
  • 34) 0,352 724 800 634 88 × 2 = 0 + 0,705 449 601 269 76;
  • 35) 0,705 449 601 269 76 × 2 = 1 + 0,410 899 202 539 52;
  • 36) 0,410 899 202 539 52 × 2 = 0 + 0,821 798 405 079 04;
  • 37) 0,821 798 405 079 04 × 2 = 1 + 0,643 596 810 158 08;
  • 38) 0,643 596 810 158 08 × 2 = 1 + 0,287 193 620 316 16;
  • 39) 0,287 193 620 316 16 × 2 = 0 + 0,574 387 240 632 32;
  • 40) 0,574 387 240 632 32 × 2 = 1 + 0,148 774 481 264 64;
  • 41) 0,148 774 481 264 64 × 2 = 0 + 0,297 548 962 529 28;
  • 42) 0,297 548 962 529 28 × 2 = 0 + 0,595 097 925 058 56;
  • 43) 0,595 097 925 058 56 × 2 = 1 + 0,190 195 850 117 12;
  • 44) 0,190 195 850 117 12 × 2 = 0 + 0,380 391 700 234 24;
  • 45) 0,380 391 700 234 24 × 2 = 0 + 0,760 783 400 468 48;
  • 46) 0,760 783 400 468 48 × 2 = 1 + 0,521 566 800 936 96;
  • 47) 0,521 566 800 936 96 × 2 = 1 + 0,043 133 601 873 92;
  • 48) 0,043 133 601 873 92 × 2 = 0 + 0,086 267 203 747 84;
  • 49) 0,086 267 203 747 84 × 2 = 0 + 0,172 534 407 495 68;
  • 50) 0,172 534 407 495 68 × 2 = 0 + 0,345 068 814 991 36;
  • 51) 0,345 068 814 991 36 × 2 = 0 + 0,690 137 629 982 72;
  • 52) 0,690 137 629 982 72 × 2 = 1 + 0,380 275 259 965 44;
  • 53) 0,380 275 259 965 44 × 2 = 0 + 0,760 550 519 930 88;
  • 54) 0,760 550 519 930 88 × 2 = 1 + 0,521 101 039 861 76;
  • 55) 0,521 101 039 861 76 × 2 = 1 + 0,042 202 079 723 52;
  • 56) 0,042 202 079 723 52 × 2 = 0 + 0,084 404 159 447 04;
  • 57) 0,084 404 159 447 04 × 2 = 0 + 0,168 808 318 894 08;
  • 58) 0,168 808 318 894 08 × 2 = 0 + 0,337 616 637 788 16;
  • 59) 0,337 616 637 788 16 × 2 = 0 + 0,675 233 275 576 32;
  • 60) 0,675 233 275 576 32 × 2 = 1 + 0,350 466 551 152 64;
  • 61) 0,350 466 551 152 64 × 2 = 0 + 0,700 933 102 305 28;
  • 62) 0,700 933 102 305 28 × 2 = 1 + 0,401 866 204 610 56;
  • 63) 0,401 866 204 610 56 × 2 = 0 + 0,803 732 409 221 12;
  • 64) 0,803 732 409 221 12 × 2 = 1 + 0,607 464 818 442 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 64(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 0110 0001 0110 0001 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 64(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 0110 0001 0110 0001 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 64(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 0110 0001 0110 0001 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 0110 0001 0110 0001 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 0110 0001 0110 0001 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 0110 0001 0110 0001 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 0110 0001 0110 0001 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 0110 0001 0110 0001 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 0110 0001 0110 0001 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 64 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 0110 0001 0110 0001 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 04 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100