-0,000 282 005 913 67 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 67(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 67(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 67| = 0,000 282 005 913 67


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 67.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 67 × 2 = 0 + 0,000 564 011 827 34;
  • 2) 0,000 564 011 827 34 × 2 = 0 + 0,001 128 023 654 68;
  • 3) 0,001 128 023 654 68 × 2 = 0 + 0,002 256 047 309 36;
  • 4) 0,002 256 047 309 36 × 2 = 0 + 0,004 512 094 618 72;
  • 5) 0,004 512 094 618 72 × 2 = 0 + 0,009 024 189 237 44;
  • 6) 0,009 024 189 237 44 × 2 = 0 + 0,018 048 378 474 88;
  • 7) 0,018 048 378 474 88 × 2 = 0 + 0,036 096 756 949 76;
  • 8) 0,036 096 756 949 76 × 2 = 0 + 0,072 193 513 899 52;
  • 9) 0,072 193 513 899 52 × 2 = 0 + 0,144 387 027 799 04;
  • 10) 0,144 387 027 799 04 × 2 = 0 + 0,288 774 055 598 08;
  • 11) 0,288 774 055 598 08 × 2 = 0 + 0,577 548 111 196 16;
  • 12) 0,577 548 111 196 16 × 2 = 1 + 0,155 096 222 392 32;
  • 13) 0,155 096 222 392 32 × 2 = 0 + 0,310 192 444 784 64;
  • 14) 0,310 192 444 784 64 × 2 = 0 + 0,620 384 889 569 28;
  • 15) 0,620 384 889 569 28 × 2 = 1 + 0,240 769 779 138 56;
  • 16) 0,240 769 779 138 56 × 2 = 0 + 0,481 539 558 277 12;
  • 17) 0,481 539 558 277 12 × 2 = 0 + 0,963 079 116 554 24;
  • 18) 0,963 079 116 554 24 × 2 = 1 + 0,926 158 233 108 48;
  • 19) 0,926 158 233 108 48 × 2 = 1 + 0,852 316 466 216 96;
  • 20) 0,852 316 466 216 96 × 2 = 1 + 0,704 632 932 433 92;
  • 21) 0,704 632 932 433 92 × 2 = 1 + 0,409 265 864 867 84;
  • 22) 0,409 265 864 867 84 × 2 = 0 + 0,818 531 729 735 68;
  • 23) 0,818 531 729 735 68 × 2 = 1 + 0,637 063 459 471 36;
  • 24) 0,637 063 459 471 36 × 2 = 1 + 0,274 126 918 942 72;
  • 25) 0,274 126 918 942 72 × 2 = 0 + 0,548 253 837 885 44;
  • 26) 0,548 253 837 885 44 × 2 = 1 + 0,096 507 675 770 88;
  • 27) 0,096 507 675 770 88 × 2 = 0 + 0,193 015 351 541 76;
  • 28) 0,193 015 351 541 76 × 2 = 0 + 0,386 030 703 083 52;
  • 29) 0,386 030 703 083 52 × 2 = 0 + 0,772 061 406 167 04;
  • 30) 0,772 061 406 167 04 × 2 = 1 + 0,544 122 812 334 08;
  • 31) 0,544 122 812 334 08 × 2 = 1 + 0,088 245 624 668 16;
  • 32) 0,088 245 624 668 16 × 2 = 0 + 0,176 491 249 336 32;
  • 33) 0,176 491 249 336 32 × 2 = 0 + 0,352 982 498 672 64;
  • 34) 0,352 982 498 672 64 × 2 = 0 + 0,705 964 997 345 28;
  • 35) 0,705 964 997 345 28 × 2 = 1 + 0,411 929 994 690 56;
  • 36) 0,411 929 994 690 56 × 2 = 0 + 0,823 859 989 381 12;
  • 37) 0,823 859 989 381 12 × 2 = 1 + 0,647 719 978 762 24;
  • 38) 0,647 719 978 762 24 × 2 = 1 + 0,295 439 957 524 48;
  • 39) 0,295 439 957 524 48 × 2 = 0 + 0,590 879 915 048 96;
  • 40) 0,590 879 915 048 96 × 2 = 1 + 0,181 759 830 097 92;
  • 41) 0,181 759 830 097 92 × 2 = 0 + 0,363 519 660 195 84;
  • 42) 0,363 519 660 195 84 × 2 = 0 + 0,727 039 320 391 68;
  • 43) 0,727 039 320 391 68 × 2 = 1 + 0,454 078 640 783 36;
  • 44) 0,454 078 640 783 36 × 2 = 0 + 0,908 157 281 566 72;
  • 45) 0,908 157 281 566 72 × 2 = 1 + 0,816 314 563 133 44;
  • 46) 0,816 314 563 133 44 × 2 = 1 + 0,632 629 126 266 88;
  • 47) 0,632 629 126 266 88 × 2 = 1 + 0,265 258 252 533 76;
  • 48) 0,265 258 252 533 76 × 2 = 0 + 0,530 516 505 067 52;
  • 49) 0,530 516 505 067 52 × 2 = 1 + 0,061 033 010 135 04;
  • 50) 0,061 033 010 135 04 × 2 = 0 + 0,122 066 020 270 08;
  • 51) 0,122 066 020 270 08 × 2 = 0 + 0,244 132 040 540 16;
  • 52) 0,244 132 040 540 16 × 2 = 0 + 0,488 264 081 080 32;
  • 53) 0,488 264 081 080 32 × 2 = 0 + 0,976 528 162 160 64;
  • 54) 0,976 528 162 160 64 × 2 = 1 + 0,953 056 324 321 28;
  • 55) 0,953 056 324 321 28 × 2 = 1 + 0,906 112 648 642 56;
  • 56) 0,906 112 648 642 56 × 2 = 1 + 0,812 225 297 285 12;
  • 57) 0,812 225 297 285 12 × 2 = 1 + 0,624 450 594 570 24;
  • 58) 0,624 450 594 570 24 × 2 = 1 + 0,248 901 189 140 48;
  • 59) 0,248 901 189 140 48 × 2 = 0 + 0,497 802 378 280 96;
  • 60) 0,497 802 378 280 96 × 2 = 0 + 0,995 604 756 561 92;
  • 61) 0,995 604 756 561 92 × 2 = 1 + 0,991 209 513 123 84;
  • 62) 0,991 209 513 123 84 × 2 = 1 + 0,982 419 026 247 68;
  • 63) 0,982 419 026 247 68 × 2 = 1 + 0,964 838 052 495 36;
  • 64) 0,964 838 052 495 36 × 2 = 1 + 0,929 676 104 990 72;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 67(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 1110 1000 0111 1100 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 67(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 1110 1000 0111 1100 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 67(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 1110 1000 0111 1100 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 1110 1000 0111 1100 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 1110 1000 0111 1100 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 1110 1000 0111 1100 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 1110 1000 0111 1100 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 1110 1000 0111 1100 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 1110 1000 0111 1100 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 67 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0010 1110 1000 0111 1100 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 33 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100