-0,000 282 005 913 68 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 68(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 68(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 68| = 0,000 282 005 913 68


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 68.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 68 × 2 = 0 + 0,000 564 011 827 36;
  • 2) 0,000 564 011 827 36 × 2 = 0 + 0,001 128 023 654 72;
  • 3) 0,001 128 023 654 72 × 2 = 0 + 0,002 256 047 309 44;
  • 4) 0,002 256 047 309 44 × 2 = 0 + 0,004 512 094 618 88;
  • 5) 0,004 512 094 618 88 × 2 = 0 + 0,009 024 189 237 76;
  • 6) 0,009 024 189 237 76 × 2 = 0 + 0,018 048 378 475 52;
  • 7) 0,018 048 378 475 52 × 2 = 0 + 0,036 096 756 951 04;
  • 8) 0,036 096 756 951 04 × 2 = 0 + 0,072 193 513 902 08;
  • 9) 0,072 193 513 902 08 × 2 = 0 + 0,144 387 027 804 16;
  • 10) 0,144 387 027 804 16 × 2 = 0 + 0,288 774 055 608 32;
  • 11) 0,288 774 055 608 32 × 2 = 0 + 0,577 548 111 216 64;
  • 12) 0,577 548 111 216 64 × 2 = 1 + 0,155 096 222 433 28;
  • 13) 0,155 096 222 433 28 × 2 = 0 + 0,310 192 444 866 56;
  • 14) 0,310 192 444 866 56 × 2 = 0 + 0,620 384 889 733 12;
  • 15) 0,620 384 889 733 12 × 2 = 1 + 0,240 769 779 466 24;
  • 16) 0,240 769 779 466 24 × 2 = 0 + 0,481 539 558 932 48;
  • 17) 0,481 539 558 932 48 × 2 = 0 + 0,963 079 117 864 96;
  • 18) 0,963 079 117 864 96 × 2 = 1 + 0,926 158 235 729 92;
  • 19) 0,926 158 235 729 92 × 2 = 1 + 0,852 316 471 459 84;
  • 20) 0,852 316 471 459 84 × 2 = 1 + 0,704 632 942 919 68;
  • 21) 0,704 632 942 919 68 × 2 = 1 + 0,409 265 885 839 36;
  • 22) 0,409 265 885 839 36 × 2 = 0 + 0,818 531 771 678 72;
  • 23) 0,818 531 771 678 72 × 2 = 1 + 0,637 063 543 357 44;
  • 24) 0,637 063 543 357 44 × 2 = 1 + 0,274 127 086 714 88;
  • 25) 0,274 127 086 714 88 × 2 = 0 + 0,548 254 173 429 76;
  • 26) 0,548 254 173 429 76 × 2 = 1 + 0,096 508 346 859 52;
  • 27) 0,096 508 346 859 52 × 2 = 0 + 0,193 016 693 719 04;
  • 28) 0,193 016 693 719 04 × 2 = 0 + 0,386 033 387 438 08;
  • 29) 0,386 033 387 438 08 × 2 = 0 + 0,772 066 774 876 16;
  • 30) 0,772 066 774 876 16 × 2 = 1 + 0,544 133 549 752 32;
  • 31) 0,544 133 549 752 32 × 2 = 1 + 0,088 267 099 504 64;
  • 32) 0,088 267 099 504 64 × 2 = 0 + 0,176 534 199 009 28;
  • 33) 0,176 534 199 009 28 × 2 = 0 + 0,353 068 398 018 56;
  • 34) 0,353 068 398 018 56 × 2 = 0 + 0,706 136 796 037 12;
  • 35) 0,706 136 796 037 12 × 2 = 1 + 0,412 273 592 074 24;
  • 36) 0,412 273 592 074 24 × 2 = 0 + 0,824 547 184 148 48;
  • 37) 0,824 547 184 148 48 × 2 = 1 + 0,649 094 368 296 96;
  • 38) 0,649 094 368 296 96 × 2 = 1 + 0,298 188 736 593 92;
  • 39) 0,298 188 736 593 92 × 2 = 0 + 0,596 377 473 187 84;
  • 40) 0,596 377 473 187 84 × 2 = 1 + 0,192 754 946 375 68;
  • 41) 0,192 754 946 375 68 × 2 = 0 + 0,385 509 892 751 36;
  • 42) 0,385 509 892 751 36 × 2 = 0 + 0,771 019 785 502 72;
  • 43) 0,771 019 785 502 72 × 2 = 1 + 0,542 039 571 005 44;
  • 44) 0,542 039 571 005 44 × 2 = 1 + 0,084 079 142 010 88;
  • 45) 0,084 079 142 010 88 × 2 = 0 + 0,168 158 284 021 76;
  • 46) 0,168 158 284 021 76 × 2 = 0 + 0,336 316 568 043 52;
  • 47) 0,336 316 568 043 52 × 2 = 0 + 0,672 633 136 087 04;
  • 48) 0,672 633 136 087 04 × 2 = 1 + 0,345 266 272 174 08;
  • 49) 0,345 266 272 174 08 × 2 = 0 + 0,690 532 544 348 16;
  • 50) 0,690 532 544 348 16 × 2 = 1 + 0,381 065 088 696 32;
  • 51) 0,381 065 088 696 32 × 2 = 0 + 0,762 130 177 392 64;
  • 52) 0,762 130 177 392 64 × 2 = 1 + 0,524 260 354 785 28;
  • 53) 0,524 260 354 785 28 × 2 = 1 + 0,048 520 709 570 56;
  • 54) 0,048 520 709 570 56 × 2 = 0 + 0,097 041 419 141 12;
  • 55) 0,097 041 419 141 12 × 2 = 0 + 0,194 082 838 282 24;
  • 56) 0,194 082 838 282 24 × 2 = 0 + 0,388 165 676 564 48;
  • 57) 0,388 165 676 564 48 × 2 = 0 + 0,776 331 353 128 96;
  • 58) 0,776 331 353 128 96 × 2 = 1 + 0,552 662 706 257 92;
  • 59) 0,552 662 706 257 92 × 2 = 1 + 0,105 325 412 515 84;
  • 60) 0,105 325 412 515 84 × 2 = 0 + 0,210 650 825 031 68;
  • 61) 0,210 650 825 031 68 × 2 = 0 + 0,421 301 650 063 36;
  • 62) 0,421 301 650 063 36 × 2 = 0 + 0,842 603 300 126 72;
  • 63) 0,842 603 300 126 72 × 2 = 1 + 0,685 206 600 253 44;
  • 64) 0,685 206 600 253 44 × 2 = 1 + 0,370 413 200 506 88;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 68(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0001 0101 1000 0110 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 68(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0001 0101 1000 0110 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 68(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0001 0101 1000 0110 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0001 0101 1000 0110 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0001 0101 1000 0110 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0001 0101 1000 0110 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0001 0101 1000 0110 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0001 0101 1000 0110 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0001 0101 1000 0110 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 68 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 0001 0101 1000 0110 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 27 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100