-0,000 282 005 914 27 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 27(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 27(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 27| = 0,000 282 005 914 27


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 27.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 27 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 54;
  • 2) 0,000 564 011 828 54 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 08;
  • 3) 0,001 128 023 657 08 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 16;
  • 4) 0,002 256 047 314 16 × 2 = 0 + 0,004 512 094 628 32;
  • 5) 0,004 512 094 628 32 × 2 = 0 + 0,009 024 189 256 64;
  • 6) 0,009 024 189 256 64 × 2 = 0 + 0,018 048 378 513 28;
  • 7) 0,018 048 378 513 28 × 2 = 0 + 0,036 096 757 026 56;
  • 8) 0,036 096 757 026 56 × 2 = 0 + 0,072 193 514 053 12;
  • 9) 0,072 193 514 053 12 × 2 = 0 + 0,144 387 028 106 24;
  • 10) 0,144 387 028 106 24 × 2 = 0 + 0,288 774 056 212 48;
  • 11) 0,288 774 056 212 48 × 2 = 0 + 0,577 548 112 424 96;
  • 12) 0,577 548 112 424 96 × 2 = 1 + 0,155 096 224 849 92;
  • 13) 0,155 096 224 849 92 × 2 = 0 + 0,310 192 449 699 84;
  • 14) 0,310 192 449 699 84 × 2 = 0 + 0,620 384 899 399 68;
  • 15) 0,620 384 899 399 68 × 2 = 1 + 0,240 769 798 799 36;
  • 16) 0,240 769 798 799 36 × 2 = 0 + 0,481 539 597 598 72;
  • 17) 0,481 539 597 598 72 × 2 = 0 + 0,963 079 195 197 44;
  • 18) 0,963 079 195 197 44 × 2 = 1 + 0,926 158 390 394 88;
  • 19) 0,926 158 390 394 88 × 2 = 1 + 0,852 316 780 789 76;
  • 20) 0,852 316 780 789 76 × 2 = 1 + 0,704 633 561 579 52;
  • 21) 0,704 633 561 579 52 × 2 = 1 + 0,409 267 123 159 04;
  • 22) 0,409 267 123 159 04 × 2 = 0 + 0,818 534 246 318 08;
  • 23) 0,818 534 246 318 08 × 2 = 1 + 0,637 068 492 636 16;
  • 24) 0,637 068 492 636 16 × 2 = 1 + 0,274 136 985 272 32;
  • 25) 0,274 136 985 272 32 × 2 = 0 + 0,548 273 970 544 64;
  • 26) 0,548 273 970 544 64 × 2 = 1 + 0,096 547 941 089 28;
  • 27) 0,096 547 941 089 28 × 2 = 0 + 0,193 095 882 178 56;
  • 28) 0,193 095 882 178 56 × 2 = 0 + 0,386 191 764 357 12;
  • 29) 0,386 191 764 357 12 × 2 = 0 + 0,772 383 528 714 24;
  • 30) 0,772 383 528 714 24 × 2 = 1 + 0,544 767 057 428 48;
  • 31) 0,544 767 057 428 48 × 2 = 1 + 0,089 534 114 856 96;
  • 32) 0,089 534 114 856 96 × 2 = 0 + 0,179 068 229 713 92;
  • 33) 0,179 068 229 713 92 × 2 = 0 + 0,358 136 459 427 84;
  • 34) 0,358 136 459 427 84 × 2 = 0 + 0,716 272 918 855 68;
  • 35) 0,716 272 918 855 68 × 2 = 1 + 0,432 545 837 711 36;
  • 36) 0,432 545 837 711 36 × 2 = 0 + 0,865 091 675 422 72;
  • 37) 0,865 091 675 422 72 × 2 = 1 + 0,730 183 350 845 44;
  • 38) 0,730 183 350 845 44 × 2 = 1 + 0,460 366 701 690 88;
  • 39) 0,460 366 701 690 88 × 2 = 0 + 0,920 733 403 381 76;
  • 40) 0,920 733 403 381 76 × 2 = 1 + 0,841 466 806 763 52;
  • 41) 0,841 466 806 763 52 × 2 = 1 + 0,682 933 613 527 04;
  • 42) 0,682 933 613 527 04 × 2 = 1 + 0,365 867 227 054 08;
  • 43) 0,365 867 227 054 08 × 2 = 0 + 0,731 734 454 108 16;
  • 44) 0,731 734 454 108 16 × 2 = 1 + 0,463 468 908 216 32;
  • 45) 0,463 468 908 216 32 × 2 = 0 + 0,926 937 816 432 64;
  • 46) 0,926 937 816 432 64 × 2 = 1 + 0,853 875 632 865 28;
  • 47) 0,853 875 632 865 28 × 2 = 1 + 0,707 751 265 730 56;
  • 48) 0,707 751 265 730 56 × 2 = 1 + 0,415 502 531 461 12;
  • 49) 0,415 502 531 461 12 × 2 = 0 + 0,831 005 062 922 24;
  • 50) 0,831 005 062 922 24 × 2 = 1 + 0,662 010 125 844 48;
  • 51) 0,662 010 125 844 48 × 2 = 1 + 0,324 020 251 688 96;
  • 52) 0,324 020 251 688 96 × 2 = 0 + 0,648 040 503 377 92;
  • 53) 0,648 040 503 377 92 × 2 = 1 + 0,296 081 006 755 84;
  • 54) 0,296 081 006 755 84 × 2 = 0 + 0,592 162 013 511 68;
  • 55) 0,592 162 013 511 68 × 2 = 1 + 0,184 324 027 023 36;
  • 56) 0,184 324 027 023 36 × 2 = 0 + 0,368 648 054 046 72;
  • 57) 0,368 648 054 046 72 × 2 = 0 + 0,737 296 108 093 44;
  • 58) 0,737 296 108 093 44 × 2 = 1 + 0,474 592 216 186 88;
  • 59) 0,474 592 216 186 88 × 2 = 0 + 0,949 184 432 373 76;
  • 60) 0,949 184 432 373 76 × 2 = 1 + 0,898 368 864 747 52;
  • 61) 0,898 368 864 747 52 × 2 = 1 + 0,796 737 729 495 04;
  • 62) 0,796 737 729 495 04 × 2 = 1 + 0,593 475 458 990 08;
  • 63) 0,593 475 458 990 08 × 2 = 1 + 0,186 950 917 980 16;
  • 64) 0,186 950 917 980 16 × 2 = 0 + 0,373 901 835 960 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 27(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0111 0110 1010 0101 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 27(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0111 0110 1010 0101 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 27(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0111 0110 1010 0101 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0111 0110 1010 0101 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0111 0110 1010 0101 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0111 0110 1010 0101 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0111 0110 1010 0101 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0111 0110 1010 0101 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0111 0110 1010 0101 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 27 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0111 0110 1010 0101 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 57 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100