-0,000 282 005 913 73 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 73(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 73(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 73| = 0,000 282 005 913 73


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 73.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 73 × 2 = 0 + 0,000 564 011 827 46;
  • 2) 0,000 564 011 827 46 × 2 = 0 + 0,001 128 023 654 92;
  • 3) 0,001 128 023 654 92 × 2 = 0 + 0,002 256 047 309 84;
  • 4) 0,002 256 047 309 84 × 2 = 0 + 0,004 512 094 619 68;
  • 5) 0,004 512 094 619 68 × 2 = 0 + 0,009 024 189 239 36;
  • 6) 0,009 024 189 239 36 × 2 = 0 + 0,018 048 378 478 72;
  • 7) 0,018 048 378 478 72 × 2 = 0 + 0,036 096 756 957 44;
  • 8) 0,036 096 756 957 44 × 2 = 0 + 0,072 193 513 914 88;
  • 9) 0,072 193 513 914 88 × 2 = 0 + 0,144 387 027 829 76;
  • 10) 0,144 387 027 829 76 × 2 = 0 + 0,288 774 055 659 52;
  • 11) 0,288 774 055 659 52 × 2 = 0 + 0,577 548 111 319 04;
  • 12) 0,577 548 111 319 04 × 2 = 1 + 0,155 096 222 638 08;
  • 13) 0,155 096 222 638 08 × 2 = 0 + 0,310 192 445 276 16;
  • 14) 0,310 192 445 276 16 × 2 = 0 + 0,620 384 890 552 32;
  • 15) 0,620 384 890 552 32 × 2 = 1 + 0,240 769 781 104 64;
  • 16) 0,240 769 781 104 64 × 2 = 0 + 0,481 539 562 209 28;
  • 17) 0,481 539 562 209 28 × 2 = 0 + 0,963 079 124 418 56;
  • 18) 0,963 079 124 418 56 × 2 = 1 + 0,926 158 248 837 12;
  • 19) 0,926 158 248 837 12 × 2 = 1 + 0,852 316 497 674 24;
  • 20) 0,852 316 497 674 24 × 2 = 1 + 0,704 632 995 348 48;
  • 21) 0,704 632 995 348 48 × 2 = 1 + 0,409 265 990 696 96;
  • 22) 0,409 265 990 696 96 × 2 = 0 + 0,818 531 981 393 92;
  • 23) 0,818 531 981 393 92 × 2 = 1 + 0,637 063 962 787 84;
  • 24) 0,637 063 962 787 84 × 2 = 1 + 0,274 127 925 575 68;
  • 25) 0,274 127 925 575 68 × 2 = 0 + 0,548 255 851 151 36;
  • 26) 0,548 255 851 151 36 × 2 = 1 + 0,096 511 702 302 72;
  • 27) 0,096 511 702 302 72 × 2 = 0 + 0,193 023 404 605 44;
  • 28) 0,193 023 404 605 44 × 2 = 0 + 0,386 046 809 210 88;
  • 29) 0,386 046 809 210 88 × 2 = 0 + 0,772 093 618 421 76;
  • 30) 0,772 093 618 421 76 × 2 = 1 + 0,544 187 236 843 52;
  • 31) 0,544 187 236 843 52 × 2 = 1 + 0,088 374 473 687 04;
  • 32) 0,088 374 473 687 04 × 2 = 0 + 0,176 748 947 374 08;
  • 33) 0,176 748 947 374 08 × 2 = 0 + 0,353 497 894 748 16;
  • 34) 0,353 497 894 748 16 × 2 = 0 + 0,706 995 789 496 32;
  • 35) 0,706 995 789 496 32 × 2 = 1 + 0,413 991 578 992 64;
  • 36) 0,413 991 578 992 64 × 2 = 0 + 0,827 983 157 985 28;
  • 37) 0,827 983 157 985 28 × 2 = 1 + 0,655 966 315 970 56;
  • 38) 0,655 966 315 970 56 × 2 = 1 + 0,311 932 631 941 12;
  • 39) 0,311 932 631 941 12 × 2 = 0 + 0,623 865 263 882 24;
  • 40) 0,623 865 263 882 24 × 2 = 1 + 0,247 730 527 764 48;
  • 41) 0,247 730 527 764 48 × 2 = 0 + 0,495 461 055 528 96;
  • 42) 0,495 461 055 528 96 × 2 = 0 + 0,990 922 111 057 92;
  • 43) 0,990 922 111 057 92 × 2 = 1 + 0,981 844 222 115 84;
  • 44) 0,981 844 222 115 84 × 2 = 1 + 0,963 688 444 231 68;
  • 45) 0,963 688 444 231 68 × 2 = 1 + 0,927 376 888 463 36;
  • 46) 0,927 376 888 463 36 × 2 = 1 + 0,854 753 776 926 72;
  • 47) 0,854 753 776 926 72 × 2 = 1 + 0,709 507 553 853 44;
  • 48) 0,709 507 553 853 44 × 2 = 1 + 0,419 015 107 706 88;
  • 49) 0,419 015 107 706 88 × 2 = 0 + 0,838 030 215 413 76;
  • 50) 0,838 030 215 413 76 × 2 = 1 + 0,676 060 430 827 52;
  • 51) 0,676 060 430 827 52 × 2 = 1 + 0,352 120 861 655 04;
  • 52) 0,352 120 861 655 04 × 2 = 0 + 0,704 241 723 310 08;
  • 53) 0,704 241 723 310 08 × 2 = 1 + 0,408 483 446 620 16;
  • 54) 0,408 483 446 620 16 × 2 = 0 + 0,816 966 893 240 32;
  • 55) 0,816 966 893 240 32 × 2 = 1 + 0,633 933 786 480 64;
  • 56) 0,633 933 786 480 64 × 2 = 1 + 0,267 867 572 961 28;
  • 57) 0,267 867 572 961 28 × 2 = 0 + 0,535 735 145 922 56;
  • 58) 0,535 735 145 922 56 × 2 = 1 + 0,071 470 291 845 12;
  • 59) 0,071 470 291 845 12 × 2 = 0 + 0,142 940 583 690 24;
  • 60) 0,142 940 583 690 24 × 2 = 0 + 0,285 881 167 380 48;
  • 61) 0,285 881 167 380 48 × 2 = 0 + 0,571 762 334 760 96;
  • 62) 0,571 762 334 760 96 × 2 = 1 + 0,143 524 669 521 92;
  • 63) 0,143 524 669 521 92 × 2 = 0 + 0,287 049 339 043 84;
  • 64) 0,287 049 339 043 84 × 2 = 0 + 0,574 098 678 087 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 73(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 1111 0110 1011 0100 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 73(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 1111 0110 1011 0100 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 73(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 1111 0110 1011 0100 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 1111 0110 1011 0100 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 1111 0110 1011 0100 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 1111 0110 1011 0100 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 1111 0110 1011 0100 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 1111 0110 1011 0100 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 1111 0110 1011 0100 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 73 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0011 1111 0110 1011 0100 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 38 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100