-0,000 282 005 914 38 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 38(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 38(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 38| = 0,000 282 005 914 38


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 38.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 38 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 76;
  • 2) 0,000 564 011 828 76 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 52;
  • 3) 0,001 128 023 657 52 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 04;
  • 4) 0,002 256 047 315 04 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 08;
  • 5) 0,004 512 094 630 08 × 2 = 0 + 0,009 024 189 260 16;
  • 6) 0,009 024 189 260 16 × 2 = 0 + 0,018 048 378 520 32;
  • 7) 0,018 048 378 520 32 × 2 = 0 + 0,036 096 757 040 64;
  • 8) 0,036 096 757 040 64 × 2 = 0 + 0,072 193 514 081 28;
  • 9) 0,072 193 514 081 28 × 2 = 0 + 0,144 387 028 162 56;
  • 10) 0,144 387 028 162 56 × 2 = 0 + 0,288 774 056 325 12;
  • 11) 0,288 774 056 325 12 × 2 = 0 + 0,577 548 112 650 24;
  • 12) 0,577 548 112 650 24 × 2 = 1 + 0,155 096 225 300 48;
  • 13) 0,155 096 225 300 48 × 2 = 0 + 0,310 192 450 600 96;
  • 14) 0,310 192 450 600 96 × 2 = 0 + 0,620 384 901 201 92;
  • 15) 0,620 384 901 201 92 × 2 = 1 + 0,240 769 802 403 84;
  • 16) 0,240 769 802 403 84 × 2 = 0 + 0,481 539 604 807 68;
  • 17) 0,481 539 604 807 68 × 2 = 0 + 0,963 079 209 615 36;
  • 18) 0,963 079 209 615 36 × 2 = 1 + 0,926 158 419 230 72;
  • 19) 0,926 158 419 230 72 × 2 = 1 + 0,852 316 838 461 44;
  • 20) 0,852 316 838 461 44 × 2 = 1 + 0,704 633 676 922 88;
  • 21) 0,704 633 676 922 88 × 2 = 1 + 0,409 267 353 845 76;
  • 22) 0,409 267 353 845 76 × 2 = 0 + 0,818 534 707 691 52;
  • 23) 0,818 534 707 691 52 × 2 = 1 + 0,637 069 415 383 04;
  • 24) 0,637 069 415 383 04 × 2 = 1 + 0,274 138 830 766 08;
  • 25) 0,274 138 830 766 08 × 2 = 0 + 0,548 277 661 532 16;
  • 26) 0,548 277 661 532 16 × 2 = 1 + 0,096 555 323 064 32;
  • 27) 0,096 555 323 064 32 × 2 = 0 + 0,193 110 646 128 64;
  • 28) 0,193 110 646 128 64 × 2 = 0 + 0,386 221 292 257 28;
  • 29) 0,386 221 292 257 28 × 2 = 0 + 0,772 442 584 514 56;
  • 30) 0,772 442 584 514 56 × 2 = 1 + 0,544 885 169 029 12;
  • 31) 0,544 885 169 029 12 × 2 = 1 + 0,089 770 338 058 24;
  • 32) 0,089 770 338 058 24 × 2 = 0 + 0,179 540 676 116 48;
  • 33) 0,179 540 676 116 48 × 2 = 0 + 0,359 081 352 232 96;
  • 34) 0,359 081 352 232 96 × 2 = 0 + 0,718 162 704 465 92;
  • 35) 0,718 162 704 465 92 × 2 = 1 + 0,436 325 408 931 84;
  • 36) 0,436 325 408 931 84 × 2 = 0 + 0,872 650 817 863 68;
  • 37) 0,872 650 817 863 68 × 2 = 1 + 0,745 301 635 727 36;
  • 38) 0,745 301 635 727 36 × 2 = 1 + 0,490 603 271 454 72;
  • 39) 0,490 603 271 454 72 × 2 = 0 + 0,981 206 542 909 44;
  • 40) 0,981 206 542 909 44 × 2 = 1 + 0,962 413 085 818 88;
  • 41) 0,962 413 085 818 88 × 2 = 1 + 0,924 826 171 637 76;
  • 42) 0,924 826 171 637 76 × 2 = 1 + 0,849 652 343 275 52;
  • 43) 0,849 652 343 275 52 × 2 = 1 + 0,699 304 686 551 04;
  • 44) 0,699 304 686 551 04 × 2 = 1 + 0,398 609 373 102 08;
  • 45) 0,398 609 373 102 08 × 2 = 0 + 0,797 218 746 204 16;
  • 46) 0,797 218 746 204 16 × 2 = 1 + 0,594 437 492 408 32;
  • 47) 0,594 437 492 408 32 × 2 = 1 + 0,188 874 984 816 64;
  • 48) 0,188 874 984 816 64 × 2 = 0 + 0,377 749 969 633 28;
  • 49) 0,377 749 969 633 28 × 2 = 0 + 0,755 499 939 266 56;
  • 50) 0,755 499 939 266 56 × 2 = 1 + 0,510 999 878 533 12;
  • 51) 0,510 999 878 533 12 × 2 = 1 + 0,021 999 757 066 24;
  • 52) 0,021 999 757 066 24 × 2 = 0 + 0,043 999 514 132 48;
  • 53) 0,043 999 514 132 48 × 2 = 0 + 0,087 999 028 264 96;
  • 54) 0,087 999 028 264 96 × 2 = 0 + 0,175 998 056 529 92;
  • 55) 0,175 998 056 529 92 × 2 = 0 + 0,351 996 113 059 84;
  • 56) 0,351 996 113 059 84 × 2 = 0 + 0,703 992 226 119 68;
  • 57) 0,703 992 226 119 68 × 2 = 1 + 0,407 984 452 239 36;
  • 58) 0,407 984 452 239 36 × 2 = 0 + 0,815 968 904 478 72;
  • 59) 0,815 968 904 478 72 × 2 = 1 + 0,631 937 808 957 44;
  • 60) 0,631 937 808 957 44 × 2 = 1 + 0,263 875 617 914 88;
  • 61) 0,263 875 617 914 88 × 2 = 0 + 0,527 751 235 829 76;
  • 62) 0,527 751 235 829 76 × 2 = 1 + 0,055 502 471 659 52;
  • 63) 0,055 502 471 659 52 × 2 = 0 + 0,111 004 943 319 04;
  • 64) 0,111 004 943 319 04 × 2 = 0 + 0,222 009 886 638 08;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 38(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 0110 0000 1011 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 38(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 0110 0000 1011 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 38(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 0110 0000 1011 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 0110 0000 1011 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 0110 0000 1011 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 0110 0000 1011 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 0110 0000 1011 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 0110 0000 1011 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 0110 0000 1011 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 38 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 0110 0000 1011 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 68 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100