-0,000 282 005 913 95 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 913 95(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 913 95(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 913 95| = 0,000 282 005 913 95


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 913 95.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 913 95 × 2 = 0 + 0,000 564 011 827 9;
  • 2) 0,000 564 011 827 9 × 2 = 0 + 0,001 128 023 655 8;
  • 3) 0,001 128 023 655 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 311 6;
  • 4) 0,002 256 047 311 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 623 2;
  • 5) 0,004 512 094 623 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 246 4;
  • 6) 0,009 024 189 246 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 492 8;
  • 7) 0,018 048 378 492 8 × 2 = 0 + 0,036 096 756 985 6;
  • 8) 0,036 096 756 985 6 × 2 = 0 + 0,072 193 513 971 2;
  • 9) 0,072 193 513 971 2 × 2 = 0 + 0,144 387 027 942 4;
  • 10) 0,144 387 027 942 4 × 2 = 0 + 0,288 774 055 884 8;
  • 11) 0,288 774 055 884 8 × 2 = 0 + 0,577 548 111 769 6;
  • 12) 0,577 548 111 769 6 × 2 = 1 + 0,155 096 223 539 2;
  • 13) 0,155 096 223 539 2 × 2 = 0 + 0,310 192 447 078 4;
  • 14) 0,310 192 447 078 4 × 2 = 0 + 0,620 384 894 156 8;
  • 15) 0,620 384 894 156 8 × 2 = 1 + 0,240 769 788 313 6;
  • 16) 0,240 769 788 313 6 × 2 = 0 + 0,481 539 576 627 2;
  • 17) 0,481 539 576 627 2 × 2 = 0 + 0,963 079 153 254 4;
  • 18) 0,963 079 153 254 4 × 2 = 1 + 0,926 158 306 508 8;
  • 19) 0,926 158 306 508 8 × 2 = 1 + 0,852 316 613 017 6;
  • 20) 0,852 316 613 017 6 × 2 = 1 + 0,704 633 226 035 2;
  • 21) 0,704 633 226 035 2 × 2 = 1 + 0,409 266 452 070 4;
  • 22) 0,409 266 452 070 4 × 2 = 0 + 0,818 532 904 140 8;
  • 23) 0,818 532 904 140 8 × 2 = 1 + 0,637 065 808 281 6;
  • 24) 0,637 065 808 281 6 × 2 = 1 + 0,274 131 616 563 2;
  • 25) 0,274 131 616 563 2 × 2 = 0 + 0,548 263 233 126 4;
  • 26) 0,548 263 233 126 4 × 2 = 1 + 0,096 526 466 252 8;
  • 27) 0,096 526 466 252 8 × 2 = 0 + 0,193 052 932 505 6;
  • 28) 0,193 052 932 505 6 × 2 = 0 + 0,386 105 865 011 2;
  • 29) 0,386 105 865 011 2 × 2 = 0 + 0,772 211 730 022 4;
  • 30) 0,772 211 730 022 4 × 2 = 1 + 0,544 423 460 044 8;
  • 31) 0,544 423 460 044 8 × 2 = 1 + 0,088 846 920 089 6;
  • 32) 0,088 846 920 089 6 × 2 = 0 + 0,177 693 840 179 2;
  • 33) 0,177 693 840 179 2 × 2 = 0 + 0,355 387 680 358 4;
  • 34) 0,355 387 680 358 4 × 2 = 0 + 0,710 775 360 716 8;
  • 35) 0,710 775 360 716 8 × 2 = 1 + 0,421 550 721 433 6;
  • 36) 0,421 550 721 433 6 × 2 = 0 + 0,843 101 442 867 2;
  • 37) 0,843 101 442 867 2 × 2 = 1 + 0,686 202 885 734 4;
  • 38) 0,686 202 885 734 4 × 2 = 1 + 0,372 405 771 468 8;
  • 39) 0,372 405 771 468 8 × 2 = 0 + 0,744 811 542 937 6;
  • 40) 0,744 811 542 937 6 × 2 = 1 + 0,489 623 085 875 2;
  • 41) 0,489 623 085 875 2 × 2 = 0 + 0,979 246 171 750 4;
  • 42) 0,979 246 171 750 4 × 2 = 1 + 0,958 492 343 500 8;
  • 43) 0,958 492 343 500 8 × 2 = 1 + 0,916 984 687 001 6;
  • 44) 0,916 984 687 001 6 × 2 = 1 + 0,833 969 374 003 2;
  • 45) 0,833 969 374 003 2 × 2 = 1 + 0,667 938 748 006 4;
  • 46) 0,667 938 748 006 4 × 2 = 1 + 0,335 877 496 012 8;
  • 47) 0,335 877 496 012 8 × 2 = 0 + 0,671 754 992 025 6;
  • 48) 0,671 754 992 025 6 × 2 = 1 + 0,343 509 984 051 2;
  • 49) 0,343 509 984 051 2 × 2 = 0 + 0,687 019 968 102 4;
  • 50) 0,687 019 968 102 4 × 2 = 1 + 0,374 039 936 204 8;
  • 51) 0,374 039 936 204 8 × 2 = 0 + 0,748 079 872 409 6;
  • 52) 0,748 079 872 409 6 × 2 = 1 + 0,496 159 744 819 2;
  • 53) 0,496 159 744 819 2 × 2 = 0 + 0,992 319 489 638 4;
  • 54) 0,992 319 489 638 4 × 2 = 1 + 0,984 638 979 276 8;
  • 55) 0,984 638 979 276 8 × 2 = 1 + 0,969 277 958 553 6;
  • 56) 0,969 277 958 553 6 × 2 = 1 + 0,938 555 917 107 2;
  • 57) 0,938 555 917 107 2 × 2 = 1 + 0,877 111 834 214 4;
  • 58) 0,877 111 834 214 4 × 2 = 1 + 0,754 223 668 428 8;
  • 59) 0,754 223 668 428 8 × 2 = 1 + 0,508 447 336 857 6;
  • 60) 0,508 447 336 857 6 × 2 = 1 + 0,016 894 673 715 2;
  • 61) 0,016 894 673 715 2 × 2 = 0 + 0,033 789 347 430 4;
  • 62) 0,033 789 347 430 4 × 2 = 0 + 0,067 578 694 860 8;
  • 63) 0,067 578 694 860 8 × 2 = 0 + 0,135 157 389 721 6;
  • 64) 0,135 157 389 721 6 × 2 = 0 + 0,270 314 779 443 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 913 95(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0111 1101 0101 0111 1111 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 913 95(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0111 1101 0101 0111 1111 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 913 95(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0111 1101 0101 0111 1111 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0111 1101 0101 0111 1111 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0111 1101 0101 0111 1111 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0111 1101 0101 0111 1111 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0111 1101 0101 0111 1111 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0111 1101 0101 0111 1111 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0111 1101 0101 0111 1111 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 913 95 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 0111 1101 0101 0111 1111 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 73 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100