-0,000 282 005 914 09 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 09(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 09(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 09| = 0,000 282 005 914 09


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 09.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 09 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 18;
  • 2) 0,000 564 011 828 18 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 36;
  • 3) 0,001 128 023 656 36 × 2 = 0 + 0,002 256 047 312 72;
  • 4) 0,002 256 047 312 72 × 2 = 0 + 0,004 512 094 625 44;
  • 5) 0,004 512 094 625 44 × 2 = 0 + 0,009 024 189 250 88;
  • 6) 0,009 024 189 250 88 × 2 = 0 + 0,018 048 378 501 76;
  • 7) 0,018 048 378 501 76 × 2 = 0 + 0,036 096 757 003 52;
  • 8) 0,036 096 757 003 52 × 2 = 0 + 0,072 193 514 007 04;
  • 9) 0,072 193 514 007 04 × 2 = 0 + 0,144 387 028 014 08;
  • 10) 0,144 387 028 014 08 × 2 = 0 + 0,288 774 056 028 16;
  • 11) 0,288 774 056 028 16 × 2 = 0 + 0,577 548 112 056 32;
  • 12) 0,577 548 112 056 32 × 2 = 1 + 0,155 096 224 112 64;
  • 13) 0,155 096 224 112 64 × 2 = 0 + 0,310 192 448 225 28;
  • 14) 0,310 192 448 225 28 × 2 = 0 + 0,620 384 896 450 56;
  • 15) 0,620 384 896 450 56 × 2 = 1 + 0,240 769 792 901 12;
  • 16) 0,240 769 792 901 12 × 2 = 0 + 0,481 539 585 802 24;
  • 17) 0,481 539 585 802 24 × 2 = 0 + 0,963 079 171 604 48;
  • 18) 0,963 079 171 604 48 × 2 = 1 + 0,926 158 343 208 96;
  • 19) 0,926 158 343 208 96 × 2 = 1 + 0,852 316 686 417 92;
  • 20) 0,852 316 686 417 92 × 2 = 1 + 0,704 633 372 835 84;
  • 21) 0,704 633 372 835 84 × 2 = 1 + 0,409 266 745 671 68;
  • 22) 0,409 266 745 671 68 × 2 = 0 + 0,818 533 491 343 36;
  • 23) 0,818 533 491 343 36 × 2 = 1 + 0,637 066 982 686 72;
  • 24) 0,637 066 982 686 72 × 2 = 1 + 0,274 133 965 373 44;
  • 25) 0,274 133 965 373 44 × 2 = 0 + 0,548 267 930 746 88;
  • 26) 0,548 267 930 746 88 × 2 = 1 + 0,096 535 861 493 76;
  • 27) 0,096 535 861 493 76 × 2 = 0 + 0,193 071 722 987 52;
  • 28) 0,193 071 722 987 52 × 2 = 0 + 0,386 143 445 975 04;
  • 29) 0,386 143 445 975 04 × 2 = 0 + 0,772 286 891 950 08;
  • 30) 0,772 286 891 950 08 × 2 = 1 + 0,544 573 783 900 16;
  • 31) 0,544 573 783 900 16 × 2 = 1 + 0,089 147 567 800 32;
  • 32) 0,089 147 567 800 32 × 2 = 0 + 0,178 295 135 600 64;
  • 33) 0,178 295 135 600 64 × 2 = 0 + 0,356 590 271 201 28;
  • 34) 0,356 590 271 201 28 × 2 = 0 + 0,713 180 542 402 56;
  • 35) 0,713 180 542 402 56 × 2 = 1 + 0,426 361 084 805 12;
  • 36) 0,426 361 084 805 12 × 2 = 0 + 0,852 722 169 610 24;
  • 37) 0,852 722 169 610 24 × 2 = 1 + 0,705 444 339 220 48;
  • 38) 0,705 444 339 220 48 × 2 = 1 + 0,410 888 678 440 96;
  • 39) 0,410 888 678 440 96 × 2 = 0 + 0,821 777 356 881 92;
  • 40) 0,821 777 356 881 92 × 2 = 1 + 0,643 554 713 763 84;
  • 41) 0,643 554 713 763 84 × 2 = 1 + 0,287 109 427 527 68;
  • 42) 0,287 109 427 527 68 × 2 = 0 + 0,574 218 855 055 36;
  • 43) 0,574 218 855 055 36 × 2 = 1 + 0,148 437 710 110 72;
  • 44) 0,148 437 710 110 72 × 2 = 0 + 0,296 875 420 221 44;
  • 45) 0,296 875 420 221 44 × 2 = 0 + 0,593 750 840 442 88;
  • 46) 0,593 750 840 442 88 × 2 = 1 + 0,187 501 680 885 76;
  • 47) 0,187 501 680 885 76 × 2 = 0 + 0,375 003 361 771 52;
  • 48) 0,375 003 361 771 52 × 2 = 0 + 0,750 006 723 543 04;
  • 49) 0,750 006 723 543 04 × 2 = 1 + 0,500 013 447 086 08;
  • 50) 0,500 013 447 086 08 × 2 = 1 + 0,000 026 894 172 16;
  • 51) 0,000 026 894 172 16 × 2 = 0 + 0,000 053 788 344 32;
  • 52) 0,000 053 788 344 32 × 2 = 0 + 0,000 107 576 688 64;
  • 53) 0,000 107 576 688 64 × 2 = 0 + 0,000 215 153 377 28;
  • 54) 0,000 215 153 377 28 × 2 = 0 + 0,000 430 306 754 56;
  • 55) 0,000 430 306 754 56 × 2 = 0 + 0,000 860 613 509 12;
  • 56) 0,000 860 613 509 12 × 2 = 0 + 0,001 721 227 018 24;
  • 57) 0,001 721 227 018 24 × 2 = 0 + 0,003 442 454 036 48;
  • 58) 0,003 442 454 036 48 × 2 = 0 + 0,006 884 908 072 96;
  • 59) 0,006 884 908 072 96 × 2 = 0 + 0,013 769 816 145 92;
  • 60) 0,013 769 816 145 92 × 2 = 0 + 0,027 539 632 291 84;
  • 61) 0,027 539 632 291 84 × 2 = 0 + 0,055 079 264 583 68;
  • 62) 0,055 079 264 583 68 × 2 = 0 + 0,110 158 529 167 36;
  • 63) 0,110 158 529 167 36 × 2 = 0 + 0,220 317 058 334 72;
  • 64) 0,220 317 058 334 72 × 2 = 0 + 0,440 634 116 669 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 09(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0100 1100 0000 0000 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 09(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0100 1100 0000 0000 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 09(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0100 1100 0000 0000 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0100 1100 0000 0000 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0100 1100 0000 0000 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0100 1100 0000 0000 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0100 1100 0000 0000 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0100 1100 0000 0000 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0100 1100 0000 0000 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 09 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1010 0100 1100 0000 0000 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 26 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100