-0,000 282 005 914 19 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 19(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 19(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 19| = 0,000 282 005 914 19


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 19.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 19 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 38;
  • 2) 0,000 564 011 828 38 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 76;
  • 3) 0,001 128 023 656 76 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 52;
  • 4) 0,002 256 047 313 52 × 2 = 0 + 0,004 512 094 627 04;
  • 5) 0,004 512 094 627 04 × 2 = 0 + 0,009 024 189 254 08;
  • 6) 0,009 024 189 254 08 × 2 = 0 + 0,018 048 378 508 16;
  • 7) 0,018 048 378 508 16 × 2 = 0 + 0,036 096 757 016 32;
  • 8) 0,036 096 757 016 32 × 2 = 0 + 0,072 193 514 032 64;
  • 9) 0,072 193 514 032 64 × 2 = 0 + 0,144 387 028 065 28;
  • 10) 0,144 387 028 065 28 × 2 = 0 + 0,288 774 056 130 56;
  • 11) 0,288 774 056 130 56 × 2 = 0 + 0,577 548 112 261 12;
  • 12) 0,577 548 112 261 12 × 2 = 1 + 0,155 096 224 522 24;
  • 13) 0,155 096 224 522 24 × 2 = 0 + 0,310 192 449 044 48;
  • 14) 0,310 192 449 044 48 × 2 = 0 + 0,620 384 898 088 96;
  • 15) 0,620 384 898 088 96 × 2 = 1 + 0,240 769 796 177 92;
  • 16) 0,240 769 796 177 92 × 2 = 0 + 0,481 539 592 355 84;
  • 17) 0,481 539 592 355 84 × 2 = 0 + 0,963 079 184 711 68;
  • 18) 0,963 079 184 711 68 × 2 = 1 + 0,926 158 369 423 36;
  • 19) 0,926 158 369 423 36 × 2 = 1 + 0,852 316 738 846 72;
  • 20) 0,852 316 738 846 72 × 2 = 1 + 0,704 633 477 693 44;
  • 21) 0,704 633 477 693 44 × 2 = 1 + 0,409 266 955 386 88;
  • 22) 0,409 266 955 386 88 × 2 = 0 + 0,818 533 910 773 76;
  • 23) 0,818 533 910 773 76 × 2 = 1 + 0,637 067 821 547 52;
  • 24) 0,637 067 821 547 52 × 2 = 1 + 0,274 135 643 095 04;
  • 25) 0,274 135 643 095 04 × 2 = 0 + 0,548 271 286 190 08;
  • 26) 0,548 271 286 190 08 × 2 = 1 + 0,096 542 572 380 16;
  • 27) 0,096 542 572 380 16 × 2 = 0 + 0,193 085 144 760 32;
  • 28) 0,193 085 144 760 32 × 2 = 0 + 0,386 170 289 520 64;
  • 29) 0,386 170 289 520 64 × 2 = 0 + 0,772 340 579 041 28;
  • 30) 0,772 340 579 041 28 × 2 = 1 + 0,544 681 158 082 56;
  • 31) 0,544 681 158 082 56 × 2 = 1 + 0,089 362 316 165 12;
  • 32) 0,089 362 316 165 12 × 2 = 0 + 0,178 724 632 330 24;
  • 33) 0,178 724 632 330 24 × 2 = 0 + 0,357 449 264 660 48;
  • 34) 0,357 449 264 660 48 × 2 = 0 + 0,714 898 529 320 96;
  • 35) 0,714 898 529 320 96 × 2 = 1 + 0,429 797 058 641 92;
  • 36) 0,429 797 058 641 92 × 2 = 0 + 0,859 594 117 283 84;
  • 37) 0,859 594 117 283 84 × 2 = 1 + 0,719 188 234 567 68;
  • 38) 0,719 188 234 567 68 × 2 = 1 + 0,438 376 469 135 36;
  • 39) 0,438 376 469 135 36 × 2 = 0 + 0,876 752 938 270 72;
  • 40) 0,876 752 938 270 72 × 2 = 1 + 0,753 505 876 541 44;
  • 41) 0,753 505 876 541 44 × 2 = 1 + 0,507 011 753 082 88;
  • 42) 0,507 011 753 082 88 × 2 = 1 + 0,014 023 506 165 76;
  • 43) 0,014 023 506 165 76 × 2 = 0 + 0,028 047 012 331 52;
  • 44) 0,028 047 012 331 52 × 2 = 0 + 0,056 094 024 663 04;
  • 45) 0,056 094 024 663 04 × 2 = 0 + 0,112 188 049 326 08;
  • 46) 0,112 188 049 326 08 × 2 = 0 + 0,224 376 098 652 16;
  • 47) 0,224 376 098 652 16 × 2 = 0 + 0,448 752 197 304 32;
  • 48) 0,448 752 197 304 32 × 2 = 0 + 0,897 504 394 608 64;
  • 49) 0,897 504 394 608 64 × 2 = 1 + 0,795 008 789 217 28;
  • 50) 0,795 008 789 217 28 × 2 = 1 + 0,590 017 578 434 56;
  • 51) 0,590 017 578 434 56 × 2 = 1 + 0,180 035 156 869 12;
  • 52) 0,180 035 156 869 12 × 2 = 0 + 0,360 070 313 738 24;
  • 53) 0,360 070 313 738 24 × 2 = 0 + 0,720 140 627 476 48;
  • 54) 0,720 140 627 476 48 × 2 = 1 + 0,440 281 254 952 96;
  • 55) 0,440 281 254 952 96 × 2 = 0 + 0,880 562 509 905 92;
  • 56) 0,880 562 509 905 92 × 2 = 1 + 0,761 125 019 811 84;
  • 57) 0,761 125 019 811 84 × 2 = 1 + 0,522 250 039 623 68;
  • 58) 0,522 250 039 623 68 × 2 = 1 + 0,044 500 079 247 36;
  • 59) 0,044 500 079 247 36 × 2 = 0 + 0,089 000 158 494 72;
  • 60) 0,089 000 158 494 72 × 2 = 0 + 0,178 000 316 989 44;
  • 61) 0,178 000 316 989 44 × 2 = 0 + 0,356 000 633 978 88;
  • 62) 0,356 000 633 978 88 × 2 = 0 + 0,712 001 267 957 76;
  • 63) 0,712 001 267 957 76 × 2 = 1 + 0,424 002 535 915 52;
  • 64) 0,424 002 535 915 52 × 2 = 0 + 0,848 005 071 831 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 19(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0000 1110 0101 1100 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 19(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0000 1110 0101 1100 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 19(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0000 1110 0101 1100 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0000 1110 0101 1100 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0000 1110 0101 1100 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0000 1110 0101 1100 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0000 1110 0101 1100 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0000 1110 0101 1100 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0000 1110 0101 1100 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 19 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0000 1110 0101 1100 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 07 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100