-0,000 282 005 915 07 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 915 07(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 915 07(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 915 07| = 0,000 282 005 915 07


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 915 07.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 915 07 × 2 = 0 + 0,000 564 011 830 14;
  • 2) 0,000 564 011 830 14 × 2 = 0 + 0,001 128 023 660 28;
  • 3) 0,001 128 023 660 28 × 2 = 0 + 0,002 256 047 320 56;
  • 4) 0,002 256 047 320 56 × 2 = 0 + 0,004 512 094 641 12;
  • 5) 0,004 512 094 641 12 × 2 = 0 + 0,009 024 189 282 24;
  • 6) 0,009 024 189 282 24 × 2 = 0 + 0,018 048 378 564 48;
  • 7) 0,018 048 378 564 48 × 2 = 0 + 0,036 096 757 128 96;
  • 8) 0,036 096 757 128 96 × 2 = 0 + 0,072 193 514 257 92;
  • 9) 0,072 193 514 257 92 × 2 = 0 + 0,144 387 028 515 84;
  • 10) 0,144 387 028 515 84 × 2 = 0 + 0,288 774 057 031 68;
  • 11) 0,288 774 057 031 68 × 2 = 0 + 0,577 548 114 063 36;
  • 12) 0,577 548 114 063 36 × 2 = 1 + 0,155 096 228 126 72;
  • 13) 0,155 096 228 126 72 × 2 = 0 + 0,310 192 456 253 44;
  • 14) 0,310 192 456 253 44 × 2 = 0 + 0,620 384 912 506 88;
  • 15) 0,620 384 912 506 88 × 2 = 1 + 0,240 769 825 013 76;
  • 16) 0,240 769 825 013 76 × 2 = 0 + 0,481 539 650 027 52;
  • 17) 0,481 539 650 027 52 × 2 = 0 + 0,963 079 300 055 04;
  • 18) 0,963 079 300 055 04 × 2 = 1 + 0,926 158 600 110 08;
  • 19) 0,926 158 600 110 08 × 2 = 1 + 0,852 317 200 220 16;
  • 20) 0,852 317 200 220 16 × 2 = 1 + 0,704 634 400 440 32;
  • 21) 0,704 634 400 440 32 × 2 = 1 + 0,409 268 800 880 64;
  • 22) 0,409 268 800 880 64 × 2 = 0 + 0,818 537 601 761 28;
  • 23) 0,818 537 601 761 28 × 2 = 1 + 0,637 075 203 522 56;
  • 24) 0,637 075 203 522 56 × 2 = 1 + 0,274 150 407 045 12;
  • 25) 0,274 150 407 045 12 × 2 = 0 + 0,548 300 814 090 24;
  • 26) 0,548 300 814 090 24 × 2 = 1 + 0,096 601 628 180 48;
  • 27) 0,096 601 628 180 48 × 2 = 0 + 0,193 203 256 360 96;
  • 28) 0,193 203 256 360 96 × 2 = 0 + 0,386 406 512 721 92;
  • 29) 0,386 406 512 721 92 × 2 = 0 + 0,772 813 025 443 84;
  • 30) 0,772 813 025 443 84 × 2 = 1 + 0,545 626 050 887 68;
  • 31) 0,545 626 050 887 68 × 2 = 1 + 0,091 252 101 775 36;
  • 32) 0,091 252 101 775 36 × 2 = 0 + 0,182 504 203 550 72;
  • 33) 0,182 504 203 550 72 × 2 = 0 + 0,365 008 407 101 44;
  • 34) 0,365 008 407 101 44 × 2 = 0 + 0,730 016 814 202 88;
  • 35) 0,730 016 814 202 88 × 2 = 1 + 0,460 033 628 405 76;
  • 36) 0,460 033 628 405 76 × 2 = 0 + 0,920 067 256 811 52;
  • 37) 0,920 067 256 811 52 × 2 = 1 + 0,840 134 513 623 04;
  • 38) 0,840 134 513 623 04 × 2 = 1 + 0,680 269 027 246 08;
  • 39) 0,680 269 027 246 08 × 2 = 1 + 0,360 538 054 492 16;
  • 40) 0,360 538 054 492 16 × 2 = 0 + 0,721 076 108 984 32;
  • 41) 0,721 076 108 984 32 × 2 = 1 + 0,442 152 217 968 64;
  • 42) 0,442 152 217 968 64 × 2 = 0 + 0,884 304 435 937 28;
  • 43) 0,884 304 435 937 28 × 2 = 1 + 0,768 608 871 874 56;
  • 44) 0,768 608 871 874 56 × 2 = 1 + 0,537 217 743 749 12;
  • 45) 0,537 217 743 749 12 × 2 = 1 + 0,074 435 487 498 24;
  • 46) 0,074 435 487 498 24 × 2 = 0 + 0,148 870 974 996 48;
  • 47) 0,148 870 974 996 48 × 2 = 0 + 0,297 741 949 992 96;
  • 48) 0,297 741 949 992 96 × 2 = 0 + 0,595 483 899 985 92;
  • 49) 0,595 483 899 985 92 × 2 = 1 + 0,190 967 799 971 84;
  • 50) 0,190 967 799 971 84 × 2 = 0 + 0,381 935 599 943 68;
  • 51) 0,381 935 599 943 68 × 2 = 0 + 0,763 871 199 887 36;
  • 52) 0,763 871 199 887 36 × 2 = 1 + 0,527 742 399 774 72;
  • 53) 0,527 742 399 774 72 × 2 = 1 + 0,055 484 799 549 44;
  • 54) 0,055 484 799 549 44 × 2 = 0 + 0,110 969 599 098 88;
  • 55) 0,110 969 599 098 88 × 2 = 0 + 0,221 939 198 197 76;
  • 56) 0,221 939 198 197 76 × 2 = 0 + 0,443 878 396 395 52;
  • 57) 0,443 878 396 395 52 × 2 = 0 + 0,887 756 792 791 04;
  • 58) 0,887 756 792 791 04 × 2 = 1 + 0,775 513 585 582 08;
  • 59) 0,775 513 585 582 08 × 2 = 1 + 0,551 027 171 164 16;
  • 60) 0,551 027 171 164 16 × 2 = 1 + 0,102 054 342 328 32;
  • 61) 0,102 054 342 328 32 × 2 = 0 + 0,204 108 684 656 64;
  • 62) 0,204 108 684 656 64 × 2 = 0 + 0,408 217 369 313 28;
  • 63) 0,408 217 369 313 28 × 2 = 0 + 0,816 434 738 626 56;
  • 64) 0,816 434 738 626 56 × 2 = 1 + 0,632 869 477 253 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 915 07(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1000 1001 1000 0111 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 915 07(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1000 1001 1000 0111 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 915 07(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1000 1001 1000 0111 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1000 1001 1000 0111 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1000 1001 1000 0111 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1000 1001 1000 0111 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1000 1001 1000 0111 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1000 1001 1000 0111 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1000 1001 1000 0111 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 915 07 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 1011 1000 1001 1000 0111 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 915 38 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100