-0,000 282 005 914 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 2| = 0,000 282 005 914 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 2 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 4;
  • 2) 0,000 564 011 828 4 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 8;
  • 3) 0,001 128 023 656 8 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 6;
  • 4) 0,002 256 047 313 6 × 2 = 0 + 0,004 512 094 627 2;
  • 5) 0,004 512 094 627 2 × 2 = 0 + 0,009 024 189 254 4;
  • 6) 0,009 024 189 254 4 × 2 = 0 + 0,018 048 378 508 8;
  • 7) 0,018 048 378 508 8 × 2 = 0 + 0,036 096 757 017 6;
  • 8) 0,036 096 757 017 6 × 2 = 0 + 0,072 193 514 035 2;
  • 9) 0,072 193 514 035 2 × 2 = 0 + 0,144 387 028 070 4;
  • 10) 0,144 387 028 070 4 × 2 = 0 + 0,288 774 056 140 8;
  • 11) 0,288 774 056 140 8 × 2 = 0 + 0,577 548 112 281 6;
  • 12) 0,577 548 112 281 6 × 2 = 1 + 0,155 096 224 563 2;
  • 13) 0,155 096 224 563 2 × 2 = 0 + 0,310 192 449 126 4;
  • 14) 0,310 192 449 126 4 × 2 = 0 + 0,620 384 898 252 8;
  • 15) 0,620 384 898 252 8 × 2 = 1 + 0,240 769 796 505 6;
  • 16) 0,240 769 796 505 6 × 2 = 0 + 0,481 539 593 011 2;
  • 17) 0,481 539 593 011 2 × 2 = 0 + 0,963 079 186 022 4;
  • 18) 0,963 079 186 022 4 × 2 = 1 + 0,926 158 372 044 8;
  • 19) 0,926 158 372 044 8 × 2 = 1 + 0,852 316 744 089 6;
  • 20) 0,852 316 744 089 6 × 2 = 1 + 0,704 633 488 179 2;
  • 21) 0,704 633 488 179 2 × 2 = 1 + 0,409 266 976 358 4;
  • 22) 0,409 266 976 358 4 × 2 = 0 + 0,818 533 952 716 8;
  • 23) 0,818 533 952 716 8 × 2 = 1 + 0,637 067 905 433 6;
  • 24) 0,637 067 905 433 6 × 2 = 1 + 0,274 135 810 867 2;
  • 25) 0,274 135 810 867 2 × 2 = 0 + 0,548 271 621 734 4;
  • 26) 0,548 271 621 734 4 × 2 = 1 + 0,096 543 243 468 8;
  • 27) 0,096 543 243 468 8 × 2 = 0 + 0,193 086 486 937 6;
  • 28) 0,193 086 486 937 6 × 2 = 0 + 0,386 172 973 875 2;
  • 29) 0,386 172 973 875 2 × 2 = 0 + 0,772 345 947 750 4;
  • 30) 0,772 345 947 750 4 × 2 = 1 + 0,544 691 895 500 8;
  • 31) 0,544 691 895 500 8 × 2 = 1 + 0,089 383 791 001 6;
  • 32) 0,089 383 791 001 6 × 2 = 0 + 0,178 767 582 003 2;
  • 33) 0,178 767 582 003 2 × 2 = 0 + 0,357 535 164 006 4;
  • 34) 0,357 535 164 006 4 × 2 = 0 + 0,715 070 328 012 8;
  • 35) 0,715 070 328 012 8 × 2 = 1 + 0,430 140 656 025 6;
  • 36) 0,430 140 656 025 6 × 2 = 0 + 0,860 281 312 051 2;
  • 37) 0,860 281 312 051 2 × 2 = 1 + 0,720 562 624 102 4;
  • 38) 0,720 562 624 102 4 × 2 = 1 + 0,441 125 248 204 8;
  • 39) 0,441 125 248 204 8 × 2 = 0 + 0,882 250 496 409 6;
  • 40) 0,882 250 496 409 6 × 2 = 1 + 0,764 500 992 819 2;
  • 41) 0,764 500 992 819 2 × 2 = 1 + 0,529 001 985 638 4;
  • 42) 0,529 001 985 638 4 × 2 = 1 + 0,058 003 971 276 8;
  • 43) 0,058 003 971 276 8 × 2 = 0 + 0,116 007 942 553 6;
  • 44) 0,116 007 942 553 6 × 2 = 0 + 0,232 015 885 107 2;
  • 45) 0,232 015 885 107 2 × 2 = 0 + 0,464 031 770 214 4;
  • 46) 0,464 031 770 214 4 × 2 = 0 + 0,928 063 540 428 8;
  • 47) 0,928 063 540 428 8 × 2 = 1 + 0,856 127 080 857 6;
  • 48) 0,856 127 080 857 6 × 2 = 1 + 0,712 254 161 715 2;
  • 49) 0,712 254 161 715 2 × 2 = 1 + 0,424 508 323 430 4;
  • 50) 0,424 508 323 430 4 × 2 = 0 + 0,849 016 646 860 8;
  • 51) 0,849 016 646 860 8 × 2 = 1 + 0,698 033 293 721 6;
  • 52) 0,698 033 293 721 6 × 2 = 1 + 0,396 066 587 443 2;
  • 53) 0,396 066 587 443 2 × 2 = 0 + 0,792 133 174 886 4;
  • 54) 0,792 133 174 886 4 × 2 = 1 + 0,584 266 349 772 8;
  • 55) 0,584 266 349 772 8 × 2 = 1 + 0,168 532 699 545 6;
  • 56) 0,168 532 699 545 6 × 2 = 0 + 0,337 065 399 091 2;
  • 57) 0,337 065 399 091 2 × 2 = 0 + 0,674 130 798 182 4;
  • 58) 0,674 130 798 182 4 × 2 = 1 + 0,348 261 596 364 8;
  • 59) 0,348 261 596 364 8 × 2 = 0 + 0,696 523 192 729 6;
  • 60) 0,696 523 192 729 6 × 2 = 1 + 0,393 046 385 459 2;
  • 61) 0,393 046 385 459 2 × 2 = 0 + 0,786 092 770 918 4;
  • 62) 0,786 092 770 918 4 × 2 = 1 + 0,572 185 541 836 8;
  • 63) 0,572 185 541 836 8 × 2 = 1 + 0,144 371 083 673 6;
  • 64) 0,144 371 083 673 6 × 2 = 0 + 0,288 742 167 347 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0011 1011 0110 0101 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0011 1011 0110 0101 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0011 1011 0110 0101 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0011 1011 0110 0101 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0011 1011 0110 0101 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0011 1011 0110 0101 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0011 1011 0110 0101 0110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0011 1011 0110 0101 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0011 1011 0110 0101 0110


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 0011 1011 0110 0101 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 918 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100