-0,000 282 005 914 216 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 216(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 216(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 216| = 0,000 282 005 914 216


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 216.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 216 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 432;
  • 2) 0,000 564 011 828 432 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 864;
  • 3) 0,001 128 023 656 864 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 728;
  • 4) 0,002 256 047 313 728 × 2 = 0 + 0,004 512 094 627 456;
  • 5) 0,004 512 094 627 456 × 2 = 0 + 0,009 024 189 254 912;
  • 6) 0,009 024 189 254 912 × 2 = 0 + 0,018 048 378 509 824;
  • 7) 0,018 048 378 509 824 × 2 = 0 + 0,036 096 757 019 648;
  • 8) 0,036 096 757 019 648 × 2 = 0 + 0,072 193 514 039 296;
  • 9) 0,072 193 514 039 296 × 2 = 0 + 0,144 387 028 078 592;
  • 10) 0,144 387 028 078 592 × 2 = 0 + 0,288 774 056 157 184;
  • 11) 0,288 774 056 157 184 × 2 = 0 + 0,577 548 112 314 368;
  • 12) 0,577 548 112 314 368 × 2 = 1 + 0,155 096 224 628 736;
  • 13) 0,155 096 224 628 736 × 2 = 0 + 0,310 192 449 257 472;
  • 14) 0,310 192 449 257 472 × 2 = 0 + 0,620 384 898 514 944;
  • 15) 0,620 384 898 514 944 × 2 = 1 + 0,240 769 797 029 888;
  • 16) 0,240 769 797 029 888 × 2 = 0 + 0,481 539 594 059 776;
  • 17) 0,481 539 594 059 776 × 2 = 0 + 0,963 079 188 119 552;
  • 18) 0,963 079 188 119 552 × 2 = 1 + 0,926 158 376 239 104;
  • 19) 0,926 158 376 239 104 × 2 = 1 + 0,852 316 752 478 208;
  • 20) 0,852 316 752 478 208 × 2 = 1 + 0,704 633 504 956 416;
  • 21) 0,704 633 504 956 416 × 2 = 1 + 0,409 267 009 912 832;
  • 22) 0,409 267 009 912 832 × 2 = 0 + 0,818 534 019 825 664;
  • 23) 0,818 534 019 825 664 × 2 = 1 + 0,637 068 039 651 328;
  • 24) 0,637 068 039 651 328 × 2 = 1 + 0,274 136 079 302 656;
  • 25) 0,274 136 079 302 656 × 2 = 0 + 0,548 272 158 605 312;
  • 26) 0,548 272 158 605 312 × 2 = 1 + 0,096 544 317 210 624;
  • 27) 0,096 544 317 210 624 × 2 = 0 + 0,193 088 634 421 248;
  • 28) 0,193 088 634 421 248 × 2 = 0 + 0,386 177 268 842 496;
  • 29) 0,386 177 268 842 496 × 2 = 0 + 0,772 354 537 684 992;
  • 30) 0,772 354 537 684 992 × 2 = 1 + 0,544 709 075 369 984;
  • 31) 0,544 709 075 369 984 × 2 = 1 + 0,089 418 150 739 968;
  • 32) 0,089 418 150 739 968 × 2 = 0 + 0,178 836 301 479 936;
  • 33) 0,178 836 301 479 936 × 2 = 0 + 0,357 672 602 959 872;
  • 34) 0,357 672 602 959 872 × 2 = 0 + 0,715 345 205 919 744;
  • 35) 0,715 345 205 919 744 × 2 = 1 + 0,430 690 411 839 488;
  • 36) 0,430 690 411 839 488 × 2 = 0 + 0,861 380 823 678 976;
  • 37) 0,861 380 823 678 976 × 2 = 1 + 0,722 761 647 357 952;
  • 38) 0,722 761 647 357 952 × 2 = 1 + 0,445 523 294 715 904;
  • 39) 0,445 523 294 715 904 × 2 = 0 + 0,891 046 589 431 808;
  • 40) 0,891 046 589 431 808 × 2 = 1 + 0,782 093 178 863 616;
  • 41) 0,782 093 178 863 616 × 2 = 1 + 0,564 186 357 727 232;
  • 42) 0,564 186 357 727 232 × 2 = 1 + 0,128 372 715 454 464;
  • 43) 0,128 372 715 454 464 × 2 = 0 + 0,256 745 430 908 928;
  • 44) 0,256 745 430 908 928 × 2 = 0 + 0,513 490 861 817 856;
  • 45) 0,513 490 861 817 856 × 2 = 1 + 0,026 981 723 635 712;
  • 46) 0,026 981 723 635 712 × 2 = 0 + 0,053 963 447 271 424;
  • 47) 0,053 963 447 271 424 × 2 = 0 + 0,107 926 894 542 848;
  • 48) 0,107 926 894 542 848 × 2 = 0 + 0,215 853 789 085 696;
  • 49) 0,215 853 789 085 696 × 2 = 0 + 0,431 707 578 171 392;
  • 50) 0,431 707 578 171 392 × 2 = 0 + 0,863 415 156 342 784;
  • 51) 0,863 415 156 342 784 × 2 = 1 + 0,726 830 312 685 568;
  • 52) 0,726 830 312 685 568 × 2 = 1 + 0,453 660 625 371 136;
  • 53) 0,453 660 625 371 136 × 2 = 0 + 0,907 321 250 742 272;
  • 54) 0,907 321 250 742 272 × 2 = 1 + 0,814 642 501 484 544;
  • 55) 0,814 642 501 484 544 × 2 = 1 + 0,629 285 002 969 088;
  • 56) 0,629 285 002 969 088 × 2 = 1 + 0,258 570 005 938 176;
  • 57) 0,258 570 005 938 176 × 2 = 0 + 0,517 140 011 876 352;
  • 58) 0,517 140 011 876 352 × 2 = 1 + 0,034 280 023 752 704;
  • 59) 0,034 280 023 752 704 × 2 = 0 + 0,068 560 047 505 408;
  • 60) 0,068 560 047 505 408 × 2 = 0 + 0,137 120 095 010 816;
  • 61) 0,137 120 095 010 816 × 2 = 0 + 0,274 240 190 021 632;
  • 62) 0,274 240 190 021 632 × 2 = 0 + 0,548 480 380 043 264;
  • 63) 0,548 480 380 043 264 × 2 = 1 + 0,096 960 760 086 528;
  • 64) 0,096 960 760 086 528 × 2 = 0 + 0,193 921 520 173 056;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 216(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0011 0111 0100 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 216(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0011 0111 0100 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 216(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0011 0111 0100 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0011 0111 0100 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0011 0111 0100 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0011 0111 0100 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0011 0111 0100 0010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0011 0111 0100 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0011 0111 0100 0010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 216 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0011 0111 0100 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 122 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100