-0,000 282 005 914 217 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 217(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 217(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 217| = 0,000 282 005 914 217


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 217.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 217 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 434;
  • 2) 0,000 564 011 828 434 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 868;
  • 3) 0,001 128 023 656 868 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 736;
  • 4) 0,002 256 047 313 736 × 2 = 0 + 0,004 512 094 627 472;
  • 5) 0,004 512 094 627 472 × 2 = 0 + 0,009 024 189 254 944;
  • 6) 0,009 024 189 254 944 × 2 = 0 + 0,018 048 378 509 888;
  • 7) 0,018 048 378 509 888 × 2 = 0 + 0,036 096 757 019 776;
  • 8) 0,036 096 757 019 776 × 2 = 0 + 0,072 193 514 039 552;
  • 9) 0,072 193 514 039 552 × 2 = 0 + 0,144 387 028 079 104;
  • 10) 0,144 387 028 079 104 × 2 = 0 + 0,288 774 056 158 208;
  • 11) 0,288 774 056 158 208 × 2 = 0 + 0,577 548 112 316 416;
  • 12) 0,577 548 112 316 416 × 2 = 1 + 0,155 096 224 632 832;
  • 13) 0,155 096 224 632 832 × 2 = 0 + 0,310 192 449 265 664;
  • 14) 0,310 192 449 265 664 × 2 = 0 + 0,620 384 898 531 328;
  • 15) 0,620 384 898 531 328 × 2 = 1 + 0,240 769 797 062 656;
  • 16) 0,240 769 797 062 656 × 2 = 0 + 0,481 539 594 125 312;
  • 17) 0,481 539 594 125 312 × 2 = 0 + 0,963 079 188 250 624;
  • 18) 0,963 079 188 250 624 × 2 = 1 + 0,926 158 376 501 248;
  • 19) 0,926 158 376 501 248 × 2 = 1 + 0,852 316 753 002 496;
  • 20) 0,852 316 753 002 496 × 2 = 1 + 0,704 633 506 004 992;
  • 21) 0,704 633 506 004 992 × 2 = 1 + 0,409 267 012 009 984;
  • 22) 0,409 267 012 009 984 × 2 = 0 + 0,818 534 024 019 968;
  • 23) 0,818 534 024 019 968 × 2 = 1 + 0,637 068 048 039 936;
  • 24) 0,637 068 048 039 936 × 2 = 1 + 0,274 136 096 079 872;
  • 25) 0,274 136 096 079 872 × 2 = 0 + 0,548 272 192 159 744;
  • 26) 0,548 272 192 159 744 × 2 = 1 + 0,096 544 384 319 488;
  • 27) 0,096 544 384 319 488 × 2 = 0 + 0,193 088 768 638 976;
  • 28) 0,193 088 768 638 976 × 2 = 0 + 0,386 177 537 277 952;
  • 29) 0,386 177 537 277 952 × 2 = 0 + 0,772 355 074 555 904;
  • 30) 0,772 355 074 555 904 × 2 = 1 + 0,544 710 149 111 808;
  • 31) 0,544 710 149 111 808 × 2 = 1 + 0,089 420 298 223 616;
  • 32) 0,089 420 298 223 616 × 2 = 0 + 0,178 840 596 447 232;
  • 33) 0,178 840 596 447 232 × 2 = 0 + 0,357 681 192 894 464;
  • 34) 0,357 681 192 894 464 × 2 = 0 + 0,715 362 385 788 928;
  • 35) 0,715 362 385 788 928 × 2 = 1 + 0,430 724 771 577 856;
  • 36) 0,430 724 771 577 856 × 2 = 0 + 0,861 449 543 155 712;
  • 37) 0,861 449 543 155 712 × 2 = 1 + 0,722 899 086 311 424;
  • 38) 0,722 899 086 311 424 × 2 = 1 + 0,445 798 172 622 848;
  • 39) 0,445 798 172 622 848 × 2 = 0 + 0,891 596 345 245 696;
  • 40) 0,891 596 345 245 696 × 2 = 1 + 0,783 192 690 491 392;
  • 41) 0,783 192 690 491 392 × 2 = 1 + 0,566 385 380 982 784;
  • 42) 0,566 385 380 982 784 × 2 = 1 + 0,132 770 761 965 568;
  • 43) 0,132 770 761 965 568 × 2 = 0 + 0,265 541 523 931 136;
  • 44) 0,265 541 523 931 136 × 2 = 0 + 0,531 083 047 862 272;
  • 45) 0,531 083 047 862 272 × 2 = 1 + 0,062 166 095 724 544;
  • 46) 0,062 166 095 724 544 × 2 = 0 + 0,124 332 191 449 088;
  • 47) 0,124 332 191 449 088 × 2 = 0 + 0,248 664 382 898 176;
  • 48) 0,248 664 382 898 176 × 2 = 0 + 0,497 328 765 796 352;
  • 49) 0,497 328 765 796 352 × 2 = 0 + 0,994 657 531 592 704;
  • 50) 0,994 657 531 592 704 × 2 = 1 + 0,989 315 063 185 408;
  • 51) 0,989 315 063 185 408 × 2 = 1 + 0,978 630 126 370 816;
  • 52) 0,978 630 126 370 816 × 2 = 1 + 0,957 260 252 741 632;
  • 53) 0,957 260 252 741 632 × 2 = 1 + 0,914 520 505 483 264;
  • 54) 0,914 520 505 483 264 × 2 = 1 + 0,829 041 010 966 528;
  • 55) 0,829 041 010 966 528 × 2 = 1 + 0,658 082 021 933 056;
  • 56) 0,658 082 021 933 056 × 2 = 1 + 0,316 164 043 866 112;
  • 57) 0,316 164 043 866 112 × 2 = 0 + 0,632 328 087 732 224;
  • 58) 0,632 328 087 732 224 × 2 = 1 + 0,264 656 175 464 448;
  • 59) 0,264 656 175 464 448 × 2 = 0 + 0,529 312 350 928 896;
  • 60) 0,529 312 350 928 896 × 2 = 1 + 0,058 624 701 857 792;
  • 61) 0,058 624 701 857 792 × 2 = 0 + 0,117 249 403 715 584;
  • 62) 0,117 249 403 715 584 × 2 = 0 + 0,234 498 807 431 168;
  • 63) 0,234 498 807 431 168 × 2 = 0 + 0,468 997 614 862 336;
  • 64) 0,468 997 614 862 336 × 2 = 0 + 0,937 995 229 724 672;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 217(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0111 1111 0101 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 217(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0111 1111 0101 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 217(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0111 1111 0101 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0111 1111 0101 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0111 1111 0101 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0111 1111 0101 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0111 1111 0101 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0111 1111 0101 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0111 1111 0101 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 217 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1000 0111 1111 0101 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 137 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100