-0,000 282 005 914 224 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 224(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 224(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 224| = 0,000 282 005 914 224


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 224.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 224 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 448;
  • 2) 0,000 564 011 828 448 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 896;
  • 3) 0,001 128 023 656 896 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 792;
  • 4) 0,002 256 047 313 792 × 2 = 0 + 0,004 512 094 627 584;
  • 5) 0,004 512 094 627 584 × 2 = 0 + 0,009 024 189 255 168;
  • 6) 0,009 024 189 255 168 × 2 = 0 + 0,018 048 378 510 336;
  • 7) 0,018 048 378 510 336 × 2 = 0 + 0,036 096 757 020 672;
  • 8) 0,036 096 757 020 672 × 2 = 0 + 0,072 193 514 041 344;
  • 9) 0,072 193 514 041 344 × 2 = 0 + 0,144 387 028 082 688;
  • 10) 0,144 387 028 082 688 × 2 = 0 + 0,288 774 056 165 376;
  • 11) 0,288 774 056 165 376 × 2 = 0 + 0,577 548 112 330 752;
  • 12) 0,577 548 112 330 752 × 2 = 1 + 0,155 096 224 661 504;
  • 13) 0,155 096 224 661 504 × 2 = 0 + 0,310 192 449 323 008;
  • 14) 0,310 192 449 323 008 × 2 = 0 + 0,620 384 898 646 016;
  • 15) 0,620 384 898 646 016 × 2 = 1 + 0,240 769 797 292 032;
  • 16) 0,240 769 797 292 032 × 2 = 0 + 0,481 539 594 584 064;
  • 17) 0,481 539 594 584 064 × 2 = 0 + 0,963 079 189 168 128;
  • 18) 0,963 079 189 168 128 × 2 = 1 + 0,926 158 378 336 256;
  • 19) 0,926 158 378 336 256 × 2 = 1 + 0,852 316 756 672 512;
  • 20) 0,852 316 756 672 512 × 2 = 1 + 0,704 633 513 345 024;
  • 21) 0,704 633 513 345 024 × 2 = 1 + 0,409 267 026 690 048;
  • 22) 0,409 267 026 690 048 × 2 = 0 + 0,818 534 053 380 096;
  • 23) 0,818 534 053 380 096 × 2 = 1 + 0,637 068 106 760 192;
  • 24) 0,637 068 106 760 192 × 2 = 1 + 0,274 136 213 520 384;
  • 25) 0,274 136 213 520 384 × 2 = 0 + 0,548 272 427 040 768;
  • 26) 0,548 272 427 040 768 × 2 = 1 + 0,096 544 854 081 536;
  • 27) 0,096 544 854 081 536 × 2 = 0 + 0,193 089 708 163 072;
  • 28) 0,193 089 708 163 072 × 2 = 0 + 0,386 179 416 326 144;
  • 29) 0,386 179 416 326 144 × 2 = 0 + 0,772 358 832 652 288;
  • 30) 0,772 358 832 652 288 × 2 = 1 + 0,544 717 665 304 576;
  • 31) 0,544 717 665 304 576 × 2 = 1 + 0,089 435 330 609 152;
  • 32) 0,089 435 330 609 152 × 2 = 0 + 0,178 870 661 218 304;
  • 33) 0,178 870 661 218 304 × 2 = 0 + 0,357 741 322 436 608;
  • 34) 0,357 741 322 436 608 × 2 = 0 + 0,715 482 644 873 216;
  • 35) 0,715 482 644 873 216 × 2 = 1 + 0,430 965 289 746 432;
  • 36) 0,430 965 289 746 432 × 2 = 0 + 0,861 930 579 492 864;
  • 37) 0,861 930 579 492 864 × 2 = 1 + 0,723 861 158 985 728;
  • 38) 0,723 861 158 985 728 × 2 = 1 + 0,447 722 317 971 456;
  • 39) 0,447 722 317 971 456 × 2 = 0 + 0,895 444 635 942 912;
  • 40) 0,895 444 635 942 912 × 2 = 1 + 0,790 889 271 885 824;
  • 41) 0,790 889 271 885 824 × 2 = 1 + 0,581 778 543 771 648;
  • 42) 0,581 778 543 771 648 × 2 = 1 + 0,163 557 087 543 296;
  • 43) 0,163 557 087 543 296 × 2 = 0 + 0,327 114 175 086 592;
  • 44) 0,327 114 175 086 592 × 2 = 0 + 0,654 228 350 173 184;
  • 45) 0,654 228 350 173 184 × 2 = 1 + 0,308 456 700 346 368;
  • 46) 0,308 456 700 346 368 × 2 = 0 + 0,616 913 400 692 736;
  • 47) 0,616 913 400 692 736 × 2 = 1 + 0,233 826 801 385 472;
  • 48) 0,233 826 801 385 472 × 2 = 0 + 0,467 653 602 770 944;
  • 49) 0,467 653 602 770 944 × 2 = 0 + 0,935 307 205 541 888;
  • 50) 0,935 307 205 541 888 × 2 = 1 + 0,870 614 411 083 776;
  • 51) 0,870 614 411 083 776 × 2 = 1 + 0,741 228 822 167 552;
  • 52) 0,741 228 822 167 552 × 2 = 1 + 0,482 457 644 335 104;
  • 53) 0,482 457 644 335 104 × 2 = 0 + 0,964 915 288 670 208;
  • 54) 0,964 915 288 670 208 × 2 = 1 + 0,929 830 577 340 416;
  • 55) 0,929 830 577 340 416 × 2 = 1 + 0,859 661 154 680 832;
  • 56) 0,859 661 154 680 832 × 2 = 1 + 0,719 322 309 361 664;
  • 57) 0,719 322 309 361 664 × 2 = 1 + 0,438 644 618 723 328;
  • 58) 0,438 644 618 723 328 × 2 = 0 + 0,877 289 237 446 656;
  • 59) 0,877 289 237 446 656 × 2 = 1 + 0,754 578 474 893 312;
  • 60) 0,754 578 474 893 312 × 2 = 1 + 0,509 156 949 786 624;
  • 61) 0,509 156 949 786 624 × 2 = 1 + 0,018 313 899 573 248;
  • 62) 0,018 313 899 573 248 × 2 = 0 + 0,036 627 799 146 496;
  • 63) 0,036 627 799 146 496 × 2 = 0 + 0,073 255 598 292 992;
  • 64) 0,073 255 598 292 992 × 2 = 0 + 0,146 511 196 585 984;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 224(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1010 0111 0111 1011 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 224(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1010 0111 0111 1011 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 224(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1010 0111 0111 1011 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1010 0111 0111 1011 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1010 0111 0111 1011 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1010 0111 0111 1011 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1010 0111 0111 1011 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1010 0111 0111 1011 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1010 0111 0111 1011 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 224 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1010 0111 0111 1011 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 288 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100