-0,000 282 005 914 227 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 227(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 227(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 227| = 0,000 282 005 914 227


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 227.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 227 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 454;
  • 2) 0,000 564 011 828 454 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 908;
  • 3) 0,001 128 023 656 908 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 816;
  • 4) 0,002 256 047 313 816 × 2 = 0 + 0,004 512 094 627 632;
  • 5) 0,004 512 094 627 632 × 2 = 0 + 0,009 024 189 255 264;
  • 6) 0,009 024 189 255 264 × 2 = 0 + 0,018 048 378 510 528;
  • 7) 0,018 048 378 510 528 × 2 = 0 + 0,036 096 757 021 056;
  • 8) 0,036 096 757 021 056 × 2 = 0 + 0,072 193 514 042 112;
  • 9) 0,072 193 514 042 112 × 2 = 0 + 0,144 387 028 084 224;
  • 10) 0,144 387 028 084 224 × 2 = 0 + 0,288 774 056 168 448;
  • 11) 0,288 774 056 168 448 × 2 = 0 + 0,577 548 112 336 896;
  • 12) 0,577 548 112 336 896 × 2 = 1 + 0,155 096 224 673 792;
  • 13) 0,155 096 224 673 792 × 2 = 0 + 0,310 192 449 347 584;
  • 14) 0,310 192 449 347 584 × 2 = 0 + 0,620 384 898 695 168;
  • 15) 0,620 384 898 695 168 × 2 = 1 + 0,240 769 797 390 336;
  • 16) 0,240 769 797 390 336 × 2 = 0 + 0,481 539 594 780 672;
  • 17) 0,481 539 594 780 672 × 2 = 0 + 0,963 079 189 561 344;
  • 18) 0,963 079 189 561 344 × 2 = 1 + 0,926 158 379 122 688;
  • 19) 0,926 158 379 122 688 × 2 = 1 + 0,852 316 758 245 376;
  • 20) 0,852 316 758 245 376 × 2 = 1 + 0,704 633 516 490 752;
  • 21) 0,704 633 516 490 752 × 2 = 1 + 0,409 267 032 981 504;
  • 22) 0,409 267 032 981 504 × 2 = 0 + 0,818 534 065 963 008;
  • 23) 0,818 534 065 963 008 × 2 = 1 + 0,637 068 131 926 016;
  • 24) 0,637 068 131 926 016 × 2 = 1 + 0,274 136 263 852 032;
  • 25) 0,274 136 263 852 032 × 2 = 0 + 0,548 272 527 704 064;
  • 26) 0,548 272 527 704 064 × 2 = 1 + 0,096 545 055 408 128;
  • 27) 0,096 545 055 408 128 × 2 = 0 + 0,193 090 110 816 256;
  • 28) 0,193 090 110 816 256 × 2 = 0 + 0,386 180 221 632 512;
  • 29) 0,386 180 221 632 512 × 2 = 0 + 0,772 360 443 265 024;
  • 30) 0,772 360 443 265 024 × 2 = 1 + 0,544 720 886 530 048;
  • 31) 0,544 720 886 530 048 × 2 = 1 + 0,089 441 773 060 096;
  • 32) 0,089 441 773 060 096 × 2 = 0 + 0,178 883 546 120 192;
  • 33) 0,178 883 546 120 192 × 2 = 0 + 0,357 767 092 240 384;
  • 34) 0,357 767 092 240 384 × 2 = 0 + 0,715 534 184 480 768;
  • 35) 0,715 534 184 480 768 × 2 = 1 + 0,431 068 368 961 536;
  • 36) 0,431 068 368 961 536 × 2 = 0 + 0,862 136 737 923 072;
  • 37) 0,862 136 737 923 072 × 2 = 1 + 0,724 273 475 846 144;
  • 38) 0,724 273 475 846 144 × 2 = 1 + 0,448 546 951 692 288;
  • 39) 0,448 546 951 692 288 × 2 = 0 + 0,897 093 903 384 576;
  • 40) 0,897 093 903 384 576 × 2 = 1 + 0,794 187 806 769 152;
  • 41) 0,794 187 806 769 152 × 2 = 1 + 0,588 375 613 538 304;
  • 42) 0,588 375 613 538 304 × 2 = 1 + 0,176 751 227 076 608;
  • 43) 0,176 751 227 076 608 × 2 = 0 + 0,353 502 454 153 216;
  • 44) 0,353 502 454 153 216 × 2 = 0 + 0,707 004 908 306 432;
  • 45) 0,707 004 908 306 432 × 2 = 1 + 0,414 009 816 612 864;
  • 46) 0,414 009 816 612 864 × 2 = 0 + 0,828 019 633 225 728;
  • 47) 0,828 019 633 225 728 × 2 = 1 + 0,656 039 266 451 456;
  • 48) 0,656 039 266 451 456 × 2 = 1 + 0,312 078 532 902 912;
  • 49) 0,312 078 532 902 912 × 2 = 0 + 0,624 157 065 805 824;
  • 50) 0,624 157 065 805 824 × 2 = 1 + 0,248 314 131 611 648;
  • 51) 0,248 314 131 611 648 × 2 = 0 + 0,496 628 263 223 296;
  • 52) 0,496 628 263 223 296 × 2 = 0 + 0,993 256 526 446 592;
  • 53) 0,993 256 526 446 592 × 2 = 1 + 0,986 513 052 893 184;
  • 54) 0,986 513 052 893 184 × 2 = 1 + 0,973 026 105 786 368;
  • 55) 0,973 026 105 786 368 × 2 = 1 + 0,946 052 211 572 736;
  • 56) 0,946 052 211 572 736 × 2 = 1 + 0,892 104 423 145 472;
  • 57) 0,892 104 423 145 472 × 2 = 1 + 0,784 208 846 290 944;
  • 58) 0,784 208 846 290 944 × 2 = 1 + 0,568 417 692 581 888;
  • 59) 0,568 417 692 581 888 × 2 = 1 + 0,136 835 385 163 776;
  • 60) 0,136 835 385 163 776 × 2 = 0 + 0,273 670 770 327 552;
  • 61) 0,273 670 770 327 552 × 2 = 0 + 0,547 341 540 655 104;
  • 62) 0,547 341 540 655 104 × 2 = 1 + 0,094 683 081 310 208;
  • 63) 0,094 683 081 310 208 × 2 = 0 + 0,189 366 162 620 416;
  • 64) 0,189 366 162 620 416 × 2 = 0 + 0,378 732 325 240 832;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 227(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1011 0100 1111 1110 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 227(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1011 0100 1111 1110 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 227(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1011 0100 1111 1110 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1011 0100 1111 1110 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1011 0100 1111 1110 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1011 0100 1111 1110 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1011 0100 1111 1110 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1011 0100 1111 1110 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1011 0100 1111 1110 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 227 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1011 0100 1111 1110 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 247 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100