-0,000 282 005 914 235 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 235(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 235(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 235| = 0,000 282 005 914 235


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 235.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 235 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 47;
  • 2) 0,000 564 011 828 47 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 94;
  • 3) 0,001 128 023 656 94 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 88;
  • 4) 0,002 256 047 313 88 × 2 = 0 + 0,004 512 094 627 76;
  • 5) 0,004 512 094 627 76 × 2 = 0 + 0,009 024 189 255 52;
  • 6) 0,009 024 189 255 52 × 2 = 0 + 0,018 048 378 511 04;
  • 7) 0,018 048 378 511 04 × 2 = 0 + 0,036 096 757 022 08;
  • 8) 0,036 096 757 022 08 × 2 = 0 + 0,072 193 514 044 16;
  • 9) 0,072 193 514 044 16 × 2 = 0 + 0,144 387 028 088 32;
  • 10) 0,144 387 028 088 32 × 2 = 0 + 0,288 774 056 176 64;
  • 11) 0,288 774 056 176 64 × 2 = 0 + 0,577 548 112 353 28;
  • 12) 0,577 548 112 353 28 × 2 = 1 + 0,155 096 224 706 56;
  • 13) 0,155 096 224 706 56 × 2 = 0 + 0,310 192 449 413 12;
  • 14) 0,310 192 449 413 12 × 2 = 0 + 0,620 384 898 826 24;
  • 15) 0,620 384 898 826 24 × 2 = 1 + 0,240 769 797 652 48;
  • 16) 0,240 769 797 652 48 × 2 = 0 + 0,481 539 595 304 96;
  • 17) 0,481 539 595 304 96 × 2 = 0 + 0,963 079 190 609 92;
  • 18) 0,963 079 190 609 92 × 2 = 1 + 0,926 158 381 219 84;
  • 19) 0,926 158 381 219 84 × 2 = 1 + 0,852 316 762 439 68;
  • 20) 0,852 316 762 439 68 × 2 = 1 + 0,704 633 524 879 36;
  • 21) 0,704 633 524 879 36 × 2 = 1 + 0,409 267 049 758 72;
  • 22) 0,409 267 049 758 72 × 2 = 0 + 0,818 534 099 517 44;
  • 23) 0,818 534 099 517 44 × 2 = 1 + 0,637 068 199 034 88;
  • 24) 0,637 068 199 034 88 × 2 = 1 + 0,274 136 398 069 76;
  • 25) 0,274 136 398 069 76 × 2 = 0 + 0,548 272 796 139 52;
  • 26) 0,548 272 796 139 52 × 2 = 1 + 0,096 545 592 279 04;
  • 27) 0,096 545 592 279 04 × 2 = 0 + 0,193 091 184 558 08;
  • 28) 0,193 091 184 558 08 × 2 = 0 + 0,386 182 369 116 16;
  • 29) 0,386 182 369 116 16 × 2 = 0 + 0,772 364 738 232 32;
  • 30) 0,772 364 738 232 32 × 2 = 1 + 0,544 729 476 464 64;
  • 31) 0,544 729 476 464 64 × 2 = 1 + 0,089 458 952 929 28;
  • 32) 0,089 458 952 929 28 × 2 = 0 + 0,178 917 905 858 56;
  • 33) 0,178 917 905 858 56 × 2 = 0 + 0,357 835 811 717 12;
  • 34) 0,357 835 811 717 12 × 2 = 0 + 0,715 671 623 434 24;
  • 35) 0,715 671 623 434 24 × 2 = 1 + 0,431 343 246 868 48;
  • 36) 0,431 343 246 868 48 × 2 = 0 + 0,862 686 493 736 96;
  • 37) 0,862 686 493 736 96 × 2 = 1 + 0,725 372 987 473 92;
  • 38) 0,725 372 987 473 92 × 2 = 1 + 0,450 745 974 947 84;
  • 39) 0,450 745 974 947 84 × 2 = 0 + 0,901 491 949 895 68;
  • 40) 0,901 491 949 895 68 × 2 = 1 + 0,802 983 899 791 36;
  • 41) 0,802 983 899 791 36 × 2 = 1 + 0,605 967 799 582 72;
  • 42) 0,605 967 799 582 72 × 2 = 1 + 0,211 935 599 165 44;
  • 43) 0,211 935 599 165 44 × 2 = 0 + 0,423 871 198 330 88;
  • 44) 0,423 871 198 330 88 × 2 = 0 + 0,847 742 396 661 76;
  • 45) 0,847 742 396 661 76 × 2 = 1 + 0,695 484 793 323 52;
  • 46) 0,695 484 793 323 52 × 2 = 1 + 0,390 969 586 647 04;
  • 47) 0,390 969 586 647 04 × 2 = 0 + 0,781 939 173 294 08;
  • 48) 0,781 939 173 294 08 × 2 = 1 + 0,563 878 346 588 16;
  • 49) 0,563 878 346 588 16 × 2 = 1 + 0,127 756 693 176 32;
  • 50) 0,127 756 693 176 32 × 2 = 0 + 0,255 513 386 352 64;
  • 51) 0,255 513 386 352 64 × 2 = 0 + 0,511 026 772 705 28;
  • 52) 0,511 026 772 705 28 × 2 = 1 + 0,022 053 545 410 56;
  • 53) 0,022 053 545 410 56 × 2 = 0 + 0,044 107 090 821 12;
  • 54) 0,044 107 090 821 12 × 2 = 0 + 0,088 214 181 642 24;
  • 55) 0,088 214 181 642 24 × 2 = 0 + 0,176 428 363 284 48;
  • 56) 0,176 428 363 284 48 × 2 = 0 + 0,352 856 726 568 96;
  • 57) 0,352 856 726 568 96 × 2 = 0 + 0,705 713 453 137 92;
  • 58) 0,705 713 453 137 92 × 2 = 1 + 0,411 426 906 275 84;
  • 59) 0,411 426 906 275 84 × 2 = 0 + 0,822 853 812 551 68;
  • 60) 0,822 853 812 551 68 × 2 = 1 + 0,645 707 625 103 36;
  • 61) 0,645 707 625 103 36 × 2 = 1 + 0,291 415 250 206 72;
  • 62) 0,291 415 250 206 72 × 2 = 0 + 0,582 830 500 413 44;
  • 63) 0,582 830 500 413 44 × 2 = 1 + 0,165 661 000 826 88;
  • 64) 0,165 661 000 826 88 × 2 = 0 + 0,331 322 001 653 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 235(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1101 1001 0000 0101 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 235(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1101 1001 0000 0101 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 235(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1101 1001 0000 0101 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1101 1001 0000 0101 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1101 1001 0000 0101 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1101 1001 0000 0101 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1101 1001 0000 0101 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1101 1001 0000 0101 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1101 1001 0000 0101 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 235 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1100 1101 1001 0000 0101 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 169 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100