-0,000 282 005 914 248 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 248(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 248(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 248| = 0,000 282 005 914 248


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 248.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 248 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 496;
  • 2) 0,000 564 011 828 496 × 2 = 0 + 0,001 128 023 656 992;
  • 3) 0,001 128 023 656 992 × 2 = 0 + 0,002 256 047 313 984;
  • 4) 0,002 256 047 313 984 × 2 = 0 + 0,004 512 094 627 968;
  • 5) 0,004 512 094 627 968 × 2 = 0 + 0,009 024 189 255 936;
  • 6) 0,009 024 189 255 936 × 2 = 0 + 0,018 048 378 511 872;
  • 7) 0,018 048 378 511 872 × 2 = 0 + 0,036 096 757 023 744;
  • 8) 0,036 096 757 023 744 × 2 = 0 + 0,072 193 514 047 488;
  • 9) 0,072 193 514 047 488 × 2 = 0 + 0,144 387 028 094 976;
  • 10) 0,144 387 028 094 976 × 2 = 0 + 0,288 774 056 189 952;
  • 11) 0,288 774 056 189 952 × 2 = 0 + 0,577 548 112 379 904;
  • 12) 0,577 548 112 379 904 × 2 = 1 + 0,155 096 224 759 808;
  • 13) 0,155 096 224 759 808 × 2 = 0 + 0,310 192 449 519 616;
  • 14) 0,310 192 449 519 616 × 2 = 0 + 0,620 384 899 039 232;
  • 15) 0,620 384 899 039 232 × 2 = 1 + 0,240 769 798 078 464;
  • 16) 0,240 769 798 078 464 × 2 = 0 + 0,481 539 596 156 928;
  • 17) 0,481 539 596 156 928 × 2 = 0 + 0,963 079 192 313 856;
  • 18) 0,963 079 192 313 856 × 2 = 1 + 0,926 158 384 627 712;
  • 19) 0,926 158 384 627 712 × 2 = 1 + 0,852 316 769 255 424;
  • 20) 0,852 316 769 255 424 × 2 = 1 + 0,704 633 538 510 848;
  • 21) 0,704 633 538 510 848 × 2 = 1 + 0,409 267 077 021 696;
  • 22) 0,409 267 077 021 696 × 2 = 0 + 0,818 534 154 043 392;
  • 23) 0,818 534 154 043 392 × 2 = 1 + 0,637 068 308 086 784;
  • 24) 0,637 068 308 086 784 × 2 = 1 + 0,274 136 616 173 568;
  • 25) 0,274 136 616 173 568 × 2 = 0 + 0,548 273 232 347 136;
  • 26) 0,548 273 232 347 136 × 2 = 1 + 0,096 546 464 694 272;
  • 27) 0,096 546 464 694 272 × 2 = 0 + 0,193 092 929 388 544;
  • 28) 0,193 092 929 388 544 × 2 = 0 + 0,386 185 858 777 088;
  • 29) 0,386 185 858 777 088 × 2 = 0 + 0,772 371 717 554 176;
  • 30) 0,772 371 717 554 176 × 2 = 1 + 0,544 743 435 108 352;
  • 31) 0,544 743 435 108 352 × 2 = 1 + 0,089 486 870 216 704;
  • 32) 0,089 486 870 216 704 × 2 = 0 + 0,178 973 740 433 408;
  • 33) 0,178 973 740 433 408 × 2 = 0 + 0,357 947 480 866 816;
  • 34) 0,357 947 480 866 816 × 2 = 0 + 0,715 894 961 733 632;
  • 35) 0,715 894 961 733 632 × 2 = 1 + 0,431 789 923 467 264;
  • 36) 0,431 789 923 467 264 × 2 = 0 + 0,863 579 846 934 528;
  • 37) 0,863 579 846 934 528 × 2 = 1 + 0,727 159 693 869 056;
  • 38) 0,727 159 693 869 056 × 2 = 1 + 0,454 319 387 738 112;
  • 39) 0,454 319 387 738 112 × 2 = 0 + 0,908 638 775 476 224;
  • 40) 0,908 638 775 476 224 × 2 = 1 + 0,817 277 550 952 448;
  • 41) 0,817 277 550 952 448 × 2 = 1 + 0,634 555 101 904 896;
  • 42) 0,634 555 101 904 896 × 2 = 1 + 0,269 110 203 809 792;
  • 43) 0,269 110 203 809 792 × 2 = 0 + 0,538 220 407 619 584;
  • 44) 0,538 220 407 619 584 × 2 = 1 + 0,076 440 815 239 168;
  • 45) 0,076 440 815 239 168 × 2 = 0 + 0,152 881 630 478 336;
  • 46) 0,152 881 630 478 336 × 2 = 0 + 0,305 763 260 956 672;
  • 47) 0,305 763 260 956 672 × 2 = 0 + 0,611 526 521 913 344;
  • 48) 0,611 526 521 913 344 × 2 = 1 + 0,223 053 043 826 688;
  • 49) 0,223 053 043 826 688 × 2 = 0 + 0,446 106 087 653 376;
  • 50) 0,446 106 087 653 376 × 2 = 0 + 0,892 212 175 306 752;
  • 51) 0,892 212 175 306 752 × 2 = 1 + 0,784 424 350 613 504;
  • 52) 0,784 424 350 613 504 × 2 = 1 + 0,568 848 701 227 008;
  • 53) 0,568 848 701 227 008 × 2 = 1 + 0,137 697 402 454 016;
  • 54) 0,137 697 402 454 016 × 2 = 0 + 0,275 394 804 908 032;
  • 55) 0,275 394 804 908 032 × 2 = 0 + 0,550 789 609 816 064;
  • 56) 0,550 789 609 816 064 × 2 = 1 + 0,101 579 219 632 128;
  • 57) 0,101 579 219 632 128 × 2 = 0 + 0,203 158 439 264 256;
  • 58) 0,203 158 439 264 256 × 2 = 0 + 0,406 316 878 528 512;
  • 59) 0,406 316 878 528 512 × 2 = 0 + 0,812 633 757 057 024;
  • 60) 0,812 633 757 057 024 × 2 = 1 + 0,625 267 514 114 048;
  • 61) 0,625 267 514 114 048 × 2 = 1 + 0,250 535 028 228 096;
  • 62) 0,250 535 028 228 096 × 2 = 0 + 0,501 070 056 456 192;
  • 63) 0,501 070 056 456 192 × 2 = 1 + 0,002 140 112 912 384;
  • 64) 0,002 140 112 912 384 × 2 = 0 + 0,004 280 225 824 768;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 248(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0001 0011 1001 0001 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 248(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0001 0011 1001 0001 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 248(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0001 0011 1001 0001 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0001 0011 1001 0001 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0001 0011 1001 0001 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0001 0011 1001 0001 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0001 0011 1001 0001 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0001 0011 1001 0001 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0001 0011 1001 0001 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 248 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 0001 0011 1001 0001 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 222 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100