-0,000 282 005 914 294 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 294(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 294(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 294| = 0,000 282 005 914 294


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 294.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 294 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 588;
  • 2) 0,000 564 011 828 588 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 176;
  • 3) 0,001 128 023 657 176 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 352;
  • 4) 0,002 256 047 314 352 × 2 = 0 + 0,004 512 094 628 704;
  • 5) 0,004 512 094 628 704 × 2 = 0 + 0,009 024 189 257 408;
  • 6) 0,009 024 189 257 408 × 2 = 0 + 0,018 048 378 514 816;
  • 7) 0,018 048 378 514 816 × 2 = 0 + 0,036 096 757 029 632;
  • 8) 0,036 096 757 029 632 × 2 = 0 + 0,072 193 514 059 264;
  • 9) 0,072 193 514 059 264 × 2 = 0 + 0,144 387 028 118 528;
  • 10) 0,144 387 028 118 528 × 2 = 0 + 0,288 774 056 237 056;
  • 11) 0,288 774 056 237 056 × 2 = 0 + 0,577 548 112 474 112;
  • 12) 0,577 548 112 474 112 × 2 = 1 + 0,155 096 224 948 224;
  • 13) 0,155 096 224 948 224 × 2 = 0 + 0,310 192 449 896 448;
  • 14) 0,310 192 449 896 448 × 2 = 0 + 0,620 384 899 792 896;
  • 15) 0,620 384 899 792 896 × 2 = 1 + 0,240 769 799 585 792;
  • 16) 0,240 769 799 585 792 × 2 = 0 + 0,481 539 599 171 584;
  • 17) 0,481 539 599 171 584 × 2 = 0 + 0,963 079 198 343 168;
  • 18) 0,963 079 198 343 168 × 2 = 1 + 0,926 158 396 686 336;
  • 19) 0,926 158 396 686 336 × 2 = 1 + 0,852 316 793 372 672;
  • 20) 0,852 316 793 372 672 × 2 = 1 + 0,704 633 586 745 344;
  • 21) 0,704 633 586 745 344 × 2 = 1 + 0,409 267 173 490 688;
  • 22) 0,409 267 173 490 688 × 2 = 0 + 0,818 534 346 981 376;
  • 23) 0,818 534 346 981 376 × 2 = 1 + 0,637 068 693 962 752;
  • 24) 0,637 068 693 962 752 × 2 = 1 + 0,274 137 387 925 504;
  • 25) 0,274 137 387 925 504 × 2 = 0 + 0,548 274 775 851 008;
  • 26) 0,548 274 775 851 008 × 2 = 1 + 0,096 549 551 702 016;
  • 27) 0,096 549 551 702 016 × 2 = 0 + 0,193 099 103 404 032;
  • 28) 0,193 099 103 404 032 × 2 = 0 + 0,386 198 206 808 064;
  • 29) 0,386 198 206 808 064 × 2 = 0 + 0,772 396 413 616 128;
  • 30) 0,772 396 413 616 128 × 2 = 1 + 0,544 792 827 232 256;
  • 31) 0,544 792 827 232 256 × 2 = 1 + 0,089 585 654 464 512;
  • 32) 0,089 585 654 464 512 × 2 = 0 + 0,179 171 308 929 024;
  • 33) 0,179 171 308 929 024 × 2 = 0 + 0,358 342 617 858 048;
  • 34) 0,358 342 617 858 048 × 2 = 0 + 0,716 685 235 716 096;
  • 35) 0,716 685 235 716 096 × 2 = 1 + 0,433 370 471 432 192;
  • 36) 0,433 370 471 432 192 × 2 = 0 + 0,866 740 942 864 384;
  • 37) 0,866 740 942 864 384 × 2 = 1 + 0,733 481 885 728 768;
  • 38) 0,733 481 885 728 768 × 2 = 1 + 0,466 963 771 457 536;
  • 39) 0,466 963 771 457 536 × 2 = 0 + 0,933 927 542 915 072;
  • 40) 0,933 927 542 915 072 × 2 = 1 + 0,867 855 085 830 144;
  • 41) 0,867 855 085 830 144 × 2 = 1 + 0,735 710 171 660 288;
  • 42) 0,735 710 171 660 288 × 2 = 1 + 0,471 420 343 320 576;
  • 43) 0,471 420 343 320 576 × 2 = 0 + 0,942 840 686 641 152;
  • 44) 0,942 840 686 641 152 × 2 = 1 + 0,885 681 373 282 304;
  • 45) 0,885 681 373 282 304 × 2 = 1 + 0,771 362 746 564 608;
  • 46) 0,771 362 746 564 608 × 2 = 1 + 0,542 725 493 129 216;
  • 47) 0,542 725 493 129 216 × 2 = 1 + 0,085 450 986 258 432;
  • 48) 0,085 450 986 258 432 × 2 = 0 + 0,170 901 972 516 864;
  • 49) 0,170 901 972 516 864 × 2 = 0 + 0,341 803 945 033 728;
  • 50) 0,341 803 945 033 728 × 2 = 0 + 0,683 607 890 067 456;
  • 51) 0,683 607 890 067 456 × 2 = 1 + 0,367 215 780 134 912;
  • 52) 0,367 215 780 134 912 × 2 = 0 + 0,734 431 560 269 824;
  • 53) 0,734 431 560 269 824 × 2 = 1 + 0,468 863 120 539 648;
  • 54) 0,468 863 120 539 648 × 2 = 0 + 0,937 726 241 079 296;
  • 55) 0,937 726 241 079 296 × 2 = 1 + 0,875 452 482 158 592;
  • 56) 0,875 452 482 158 592 × 2 = 1 + 0,750 904 964 317 184;
  • 57) 0,750 904 964 317 184 × 2 = 1 + 0,501 809 928 634 368;
  • 58) 0,501 809 928 634 368 × 2 = 1 + 0,003 619 857 268 736;
  • 59) 0,003 619 857 268 736 × 2 = 0 + 0,007 239 714 537 472;
  • 60) 0,007 239 714 537 472 × 2 = 0 + 0,014 479 429 074 944;
  • 61) 0,014 479 429 074 944 × 2 = 0 + 0,028 958 858 149 888;
  • 62) 0,028 958 858 149 888 × 2 = 0 + 0,057 917 716 299 776;
  • 63) 0,057 917 716 299 776 × 2 = 0 + 0,115 835 432 599 552;
  • 64) 0,115 835 432 599 552 × 2 = 0 + 0,231 670 865 199 104;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 294(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1110 0010 1011 1100 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 294(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1110 0010 1011 1100 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 294(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1110 0010 1011 1100 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1110 0010 1011 1100 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1110 0010 1011 1100 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1110 0010 1011 1100 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1110 0010 1011 1100 0000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1110 0010 1011 1100 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1110 0010 1011 1100 0000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 294 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1101 1110 0010 1011 1100 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 358 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100