-0,000 282 005 914 358 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 358(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 358(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 358| = 0,000 282 005 914 358


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 358.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 358 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 716;
  • 2) 0,000 564 011 828 716 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 432;
  • 3) 0,001 128 023 657 432 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 864;
  • 4) 0,002 256 047 314 864 × 2 = 0 + 0,004 512 094 629 728;
  • 5) 0,004 512 094 629 728 × 2 = 0 + 0,009 024 189 259 456;
  • 6) 0,009 024 189 259 456 × 2 = 0 + 0,018 048 378 518 912;
  • 7) 0,018 048 378 518 912 × 2 = 0 + 0,036 096 757 037 824;
  • 8) 0,036 096 757 037 824 × 2 = 0 + 0,072 193 514 075 648;
  • 9) 0,072 193 514 075 648 × 2 = 0 + 0,144 387 028 151 296;
  • 10) 0,144 387 028 151 296 × 2 = 0 + 0,288 774 056 302 592;
  • 11) 0,288 774 056 302 592 × 2 = 0 + 0,577 548 112 605 184;
  • 12) 0,577 548 112 605 184 × 2 = 1 + 0,155 096 225 210 368;
  • 13) 0,155 096 225 210 368 × 2 = 0 + 0,310 192 450 420 736;
  • 14) 0,310 192 450 420 736 × 2 = 0 + 0,620 384 900 841 472;
  • 15) 0,620 384 900 841 472 × 2 = 1 + 0,240 769 801 682 944;
  • 16) 0,240 769 801 682 944 × 2 = 0 + 0,481 539 603 365 888;
  • 17) 0,481 539 603 365 888 × 2 = 0 + 0,963 079 206 731 776;
  • 18) 0,963 079 206 731 776 × 2 = 1 + 0,926 158 413 463 552;
  • 19) 0,926 158 413 463 552 × 2 = 1 + 0,852 316 826 927 104;
  • 20) 0,852 316 826 927 104 × 2 = 1 + 0,704 633 653 854 208;
  • 21) 0,704 633 653 854 208 × 2 = 1 + 0,409 267 307 708 416;
  • 22) 0,409 267 307 708 416 × 2 = 0 + 0,818 534 615 416 832;
  • 23) 0,818 534 615 416 832 × 2 = 1 + 0,637 069 230 833 664;
  • 24) 0,637 069 230 833 664 × 2 = 1 + 0,274 138 461 667 328;
  • 25) 0,274 138 461 667 328 × 2 = 0 + 0,548 276 923 334 656;
  • 26) 0,548 276 923 334 656 × 2 = 1 + 0,096 553 846 669 312;
  • 27) 0,096 553 846 669 312 × 2 = 0 + 0,193 107 693 338 624;
  • 28) 0,193 107 693 338 624 × 2 = 0 + 0,386 215 386 677 248;
  • 29) 0,386 215 386 677 248 × 2 = 0 + 0,772 430 773 354 496;
  • 30) 0,772 430 773 354 496 × 2 = 1 + 0,544 861 546 708 992;
  • 31) 0,544 861 546 708 992 × 2 = 1 + 0,089 723 093 417 984;
  • 32) 0,089 723 093 417 984 × 2 = 0 + 0,179 446 186 835 968;
  • 33) 0,179 446 186 835 968 × 2 = 0 + 0,358 892 373 671 936;
  • 34) 0,358 892 373 671 936 × 2 = 0 + 0,717 784 747 343 872;
  • 35) 0,717 784 747 343 872 × 2 = 1 + 0,435 569 494 687 744;
  • 36) 0,435 569 494 687 744 × 2 = 0 + 0,871 138 989 375 488;
  • 37) 0,871 138 989 375 488 × 2 = 1 + 0,742 277 978 750 976;
  • 38) 0,742 277 978 750 976 × 2 = 1 + 0,484 555 957 501 952;
  • 39) 0,484 555 957 501 952 × 2 = 0 + 0,969 111 915 003 904;
  • 40) 0,969 111 915 003 904 × 2 = 1 + 0,938 223 830 007 808;
  • 41) 0,938 223 830 007 808 × 2 = 1 + 0,876 447 660 015 616;
  • 42) 0,876 447 660 015 616 × 2 = 1 + 0,752 895 320 031 232;
  • 43) 0,752 895 320 031 232 × 2 = 1 + 0,505 790 640 062 464;
  • 44) 0,505 790 640 062 464 × 2 = 1 + 0,011 581 280 124 928;
  • 45) 0,011 581 280 124 928 × 2 = 0 + 0,023 162 560 249 856;
  • 46) 0,023 162 560 249 856 × 2 = 0 + 0,046 325 120 499 712;
  • 47) 0,046 325 120 499 712 × 2 = 0 + 0,092 650 240 999 424;
  • 48) 0,092 650 240 999 424 × 2 = 0 + 0,185 300 481 998 848;
  • 49) 0,185 300 481 998 848 × 2 = 0 + 0,370 600 963 997 696;
  • 50) 0,370 600 963 997 696 × 2 = 0 + 0,741 201 927 995 392;
  • 51) 0,741 201 927 995 392 × 2 = 1 + 0,482 403 855 990 784;
  • 52) 0,482 403 855 990 784 × 2 = 0 + 0,964 807 711 981 568;
  • 53) 0,964 807 711 981 568 × 2 = 1 + 0,929 615 423 963 136;
  • 54) 0,929 615 423 963 136 × 2 = 1 + 0,859 230 847 926 272;
  • 55) 0,859 230 847 926 272 × 2 = 1 + 0,718 461 695 852 544;
  • 56) 0,718 461 695 852 544 × 2 = 1 + 0,436 923 391 705 088;
  • 57) 0,436 923 391 705 088 × 2 = 0 + 0,873 846 783 410 176;
  • 58) 0,873 846 783 410 176 × 2 = 1 + 0,747 693 566 820 352;
  • 59) 0,747 693 566 820 352 × 2 = 1 + 0,495 387 133 640 704;
  • 60) 0,495 387 133 640 704 × 2 = 0 + 0,990 774 267 281 408;
  • 61) 0,990 774 267 281 408 × 2 = 1 + 0,981 548 534 562 816;
  • 62) 0,981 548 534 562 816 × 2 = 1 + 0,963 097 069 125 632;
  • 63) 0,963 097 069 125 632 × 2 = 1 + 0,926 194 138 251 264;
  • 64) 0,926 194 138 251 264 × 2 = 1 + 0,852 388 276 502 528;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 358(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0000 0010 1111 0110 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 358(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0000 0010 1111 0110 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 358(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0000 0010 1111 0110 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0000 0010 1111 0110 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0000 0010 1111 0110 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0000 0010 1111 0110 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0000 0010 1111 0110 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0000 0010 1111 0110 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0000 0010 1111 0110 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 358 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0000 0010 1111 0110 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 388 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100