-0,000 282 005 914 304 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 304(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 304(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 304| = 0,000 282 005 914 304


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 304.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 304 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 608;
  • 2) 0,000 564 011 828 608 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 216;
  • 3) 0,001 128 023 657 216 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 432;
  • 4) 0,002 256 047 314 432 × 2 = 0 + 0,004 512 094 628 864;
  • 5) 0,004 512 094 628 864 × 2 = 0 + 0,009 024 189 257 728;
  • 6) 0,009 024 189 257 728 × 2 = 0 + 0,018 048 378 515 456;
  • 7) 0,018 048 378 515 456 × 2 = 0 + 0,036 096 757 030 912;
  • 8) 0,036 096 757 030 912 × 2 = 0 + 0,072 193 514 061 824;
  • 9) 0,072 193 514 061 824 × 2 = 0 + 0,144 387 028 123 648;
  • 10) 0,144 387 028 123 648 × 2 = 0 + 0,288 774 056 247 296;
  • 11) 0,288 774 056 247 296 × 2 = 0 + 0,577 548 112 494 592;
  • 12) 0,577 548 112 494 592 × 2 = 1 + 0,155 096 224 989 184;
  • 13) 0,155 096 224 989 184 × 2 = 0 + 0,310 192 449 978 368;
  • 14) 0,310 192 449 978 368 × 2 = 0 + 0,620 384 899 956 736;
  • 15) 0,620 384 899 956 736 × 2 = 1 + 0,240 769 799 913 472;
  • 16) 0,240 769 799 913 472 × 2 = 0 + 0,481 539 599 826 944;
  • 17) 0,481 539 599 826 944 × 2 = 0 + 0,963 079 199 653 888;
  • 18) 0,963 079 199 653 888 × 2 = 1 + 0,926 158 399 307 776;
  • 19) 0,926 158 399 307 776 × 2 = 1 + 0,852 316 798 615 552;
  • 20) 0,852 316 798 615 552 × 2 = 1 + 0,704 633 597 231 104;
  • 21) 0,704 633 597 231 104 × 2 = 1 + 0,409 267 194 462 208;
  • 22) 0,409 267 194 462 208 × 2 = 0 + 0,818 534 388 924 416;
  • 23) 0,818 534 388 924 416 × 2 = 1 + 0,637 068 777 848 832;
  • 24) 0,637 068 777 848 832 × 2 = 1 + 0,274 137 555 697 664;
  • 25) 0,274 137 555 697 664 × 2 = 0 + 0,548 275 111 395 328;
  • 26) 0,548 275 111 395 328 × 2 = 1 + 0,096 550 222 790 656;
  • 27) 0,096 550 222 790 656 × 2 = 0 + 0,193 100 445 581 312;
  • 28) 0,193 100 445 581 312 × 2 = 0 + 0,386 200 891 162 624;
  • 29) 0,386 200 891 162 624 × 2 = 0 + 0,772 401 782 325 248;
  • 30) 0,772 401 782 325 248 × 2 = 1 + 0,544 803 564 650 496;
  • 31) 0,544 803 564 650 496 × 2 = 1 + 0,089 607 129 300 992;
  • 32) 0,089 607 129 300 992 × 2 = 0 + 0,179 214 258 601 984;
  • 33) 0,179 214 258 601 984 × 2 = 0 + 0,358 428 517 203 968;
  • 34) 0,358 428 517 203 968 × 2 = 0 + 0,716 857 034 407 936;
  • 35) 0,716 857 034 407 936 × 2 = 1 + 0,433 714 068 815 872;
  • 36) 0,433 714 068 815 872 × 2 = 0 + 0,867 428 137 631 744;
  • 37) 0,867 428 137 631 744 × 2 = 1 + 0,734 856 275 263 488;
  • 38) 0,734 856 275 263 488 × 2 = 1 + 0,469 712 550 526 976;
  • 39) 0,469 712 550 526 976 × 2 = 0 + 0,939 425 101 053 952;
  • 40) 0,939 425 101 053 952 × 2 = 1 + 0,878 850 202 107 904;
  • 41) 0,878 850 202 107 904 × 2 = 1 + 0,757 700 404 215 808;
  • 42) 0,757 700 404 215 808 × 2 = 1 + 0,515 400 808 431 616;
  • 43) 0,515 400 808 431 616 × 2 = 1 + 0,030 801 616 863 232;
  • 44) 0,030 801 616 863 232 × 2 = 0 + 0,061 603 233 726 464;
  • 45) 0,061 603 233 726 464 × 2 = 0 + 0,123 206 467 452 928;
  • 46) 0,123 206 467 452 928 × 2 = 0 + 0,246 412 934 905 856;
  • 47) 0,246 412 934 905 856 × 2 = 0 + 0,492 825 869 811 712;
  • 48) 0,492 825 869 811 712 × 2 = 0 + 0,985 651 739 623 424;
  • 49) 0,985 651 739 623 424 × 2 = 1 + 0,971 303 479 246 848;
  • 50) 0,971 303 479 246 848 × 2 = 1 + 0,942 606 958 493 696;
  • 51) 0,942 606 958 493 696 × 2 = 1 + 0,885 213 916 987 392;
  • 52) 0,885 213 916 987 392 × 2 = 1 + 0,770 427 833 974 784;
  • 53) 0,770 427 833 974 784 × 2 = 1 + 0,540 855 667 949 568;
  • 54) 0,540 855 667 949 568 × 2 = 1 + 0,081 711 335 899 136;
  • 55) 0,081 711 335 899 136 × 2 = 0 + 0,163 422 671 798 272;
  • 56) 0,163 422 671 798 272 × 2 = 0 + 0,326 845 343 596 544;
  • 57) 0,326 845 343 596 544 × 2 = 0 + 0,653 690 687 193 088;
  • 58) 0,653 690 687 193 088 × 2 = 1 + 0,307 381 374 386 176;
  • 59) 0,307 381 374 386 176 × 2 = 0 + 0,614 762 748 772 352;
  • 60) 0,614 762 748 772 352 × 2 = 1 + 0,229 525 497 544 704;
  • 61) 0,229 525 497 544 704 × 2 = 0 + 0,459 050 995 089 408;
  • 62) 0,459 050 995 089 408 × 2 = 0 + 0,918 101 990 178 816;
  • 63) 0,918 101 990 178 816 × 2 = 1 + 0,836 203 980 357 632;
  • 64) 0,836 203 980 357 632 × 2 = 1 + 0,672 407 960 715 264;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 304(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0000 1111 1100 0101 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 304(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0000 1111 1100 0101 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 304(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0000 1111 1100 0101 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0000 1111 1100 0101 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0000 1111 1100 0101 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0000 1111 1100 0101 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0000 1111 1100 0101 0011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0000 1111 1100 0101 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0000 1111 1100 0101 0011


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 304 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0000 1111 1100 0101 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 351 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100