-0,000 282 005 914 351 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 351(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 351(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 351| = 0,000 282 005 914 351


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 351.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 351 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 702;
  • 2) 0,000 564 011 828 702 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 404;
  • 3) 0,001 128 023 657 404 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 808;
  • 4) 0,002 256 047 314 808 × 2 = 0 + 0,004 512 094 629 616;
  • 5) 0,004 512 094 629 616 × 2 = 0 + 0,009 024 189 259 232;
  • 6) 0,009 024 189 259 232 × 2 = 0 + 0,018 048 378 518 464;
  • 7) 0,018 048 378 518 464 × 2 = 0 + 0,036 096 757 036 928;
  • 8) 0,036 096 757 036 928 × 2 = 0 + 0,072 193 514 073 856;
  • 9) 0,072 193 514 073 856 × 2 = 0 + 0,144 387 028 147 712;
  • 10) 0,144 387 028 147 712 × 2 = 0 + 0,288 774 056 295 424;
  • 11) 0,288 774 056 295 424 × 2 = 0 + 0,577 548 112 590 848;
  • 12) 0,577 548 112 590 848 × 2 = 1 + 0,155 096 225 181 696;
  • 13) 0,155 096 225 181 696 × 2 = 0 + 0,310 192 450 363 392;
  • 14) 0,310 192 450 363 392 × 2 = 0 + 0,620 384 900 726 784;
  • 15) 0,620 384 900 726 784 × 2 = 1 + 0,240 769 801 453 568;
  • 16) 0,240 769 801 453 568 × 2 = 0 + 0,481 539 602 907 136;
  • 17) 0,481 539 602 907 136 × 2 = 0 + 0,963 079 205 814 272;
  • 18) 0,963 079 205 814 272 × 2 = 1 + 0,926 158 411 628 544;
  • 19) 0,926 158 411 628 544 × 2 = 1 + 0,852 316 823 257 088;
  • 20) 0,852 316 823 257 088 × 2 = 1 + 0,704 633 646 514 176;
  • 21) 0,704 633 646 514 176 × 2 = 1 + 0,409 267 293 028 352;
  • 22) 0,409 267 293 028 352 × 2 = 0 + 0,818 534 586 056 704;
  • 23) 0,818 534 586 056 704 × 2 = 1 + 0,637 069 172 113 408;
  • 24) 0,637 069 172 113 408 × 2 = 1 + 0,274 138 344 226 816;
  • 25) 0,274 138 344 226 816 × 2 = 0 + 0,548 276 688 453 632;
  • 26) 0,548 276 688 453 632 × 2 = 1 + 0,096 553 376 907 264;
  • 27) 0,096 553 376 907 264 × 2 = 0 + 0,193 106 753 814 528;
  • 28) 0,193 106 753 814 528 × 2 = 0 + 0,386 213 507 629 056;
  • 29) 0,386 213 507 629 056 × 2 = 0 + 0,772 427 015 258 112;
  • 30) 0,772 427 015 258 112 × 2 = 1 + 0,544 854 030 516 224;
  • 31) 0,544 854 030 516 224 × 2 = 1 + 0,089 708 061 032 448;
  • 32) 0,089 708 061 032 448 × 2 = 0 + 0,179 416 122 064 896;
  • 33) 0,179 416 122 064 896 × 2 = 0 + 0,358 832 244 129 792;
  • 34) 0,358 832 244 129 792 × 2 = 0 + 0,717 664 488 259 584;
  • 35) 0,717 664 488 259 584 × 2 = 1 + 0,435 328 976 519 168;
  • 36) 0,435 328 976 519 168 × 2 = 0 + 0,870 657 953 038 336;
  • 37) 0,870 657 953 038 336 × 2 = 1 + 0,741 315 906 076 672;
  • 38) 0,741 315 906 076 672 × 2 = 1 + 0,482 631 812 153 344;
  • 39) 0,482 631 812 153 344 × 2 = 0 + 0,965 263 624 306 688;
  • 40) 0,965 263 624 306 688 × 2 = 1 + 0,930 527 248 613 376;
  • 41) 0,930 527 248 613 376 × 2 = 1 + 0,861 054 497 226 752;
  • 42) 0,861 054 497 226 752 × 2 = 1 + 0,722 108 994 453 504;
  • 43) 0,722 108 994 453 504 × 2 = 1 + 0,444 217 988 907 008;
  • 44) 0,444 217 988 907 008 × 2 = 0 + 0,888 435 977 814 016;
  • 45) 0,888 435 977 814 016 × 2 = 1 + 0,776 871 955 628 032;
  • 46) 0,776 871 955 628 032 × 2 = 1 + 0,553 743 911 256 064;
  • 47) 0,553 743 911 256 064 × 2 = 1 + 0,107 487 822 512 128;
  • 48) 0,107 487 822 512 128 × 2 = 0 + 0,214 975 645 024 256;
  • 49) 0,214 975 645 024 256 × 2 = 0 + 0,429 951 290 048 512;
  • 50) 0,429 951 290 048 512 × 2 = 0 + 0,859 902 580 097 024;
  • 51) 0,859 902 580 097 024 × 2 = 1 + 0,719 805 160 194 048;
  • 52) 0,719 805 160 194 048 × 2 = 1 + 0,439 610 320 388 096;
  • 53) 0,439 610 320 388 096 × 2 = 0 + 0,879 220 640 776 192;
  • 54) 0,879 220 640 776 192 × 2 = 1 + 0,758 441 281 552 384;
  • 55) 0,758 441 281 552 384 × 2 = 1 + 0,516 882 563 104 768;
  • 56) 0,516 882 563 104 768 × 2 = 1 + 0,033 765 126 209 536;
  • 57) 0,033 765 126 209 536 × 2 = 0 + 0,067 530 252 419 072;
  • 58) 0,067 530 252 419 072 × 2 = 0 + 0,135 060 504 838 144;
  • 59) 0,135 060 504 838 144 × 2 = 0 + 0,270 121 009 676 288;
  • 60) 0,270 121 009 676 288 × 2 = 0 + 0,540 242 019 352 576;
  • 61) 0,540 242 019 352 576 × 2 = 1 + 0,080 484 038 705 152;
  • 62) 0,080 484 038 705 152 × 2 = 0 + 0,160 968 077 410 304;
  • 63) 0,160 968 077 410 304 × 2 = 0 + 0,321 936 154 820 608;
  • 64) 0,321 936 154 820 608 × 2 = 0 + 0,643 872 309 641 216;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 351(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1110 0011 0111 0000 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 351(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1110 0011 0111 0000 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 351(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1110 0011 0111 0000 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1110 0011 0111 0000 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1110 0011 0111 0000 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1110 0011 0111 0000 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1110 0011 0111 0000 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1110 0011 0111 0000 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1110 0011 0111 0000 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 351 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1110 0011 0111 0000 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 421 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100