-0,000 282 005 914 307 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 307(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 307(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 307| = 0,000 282 005 914 307


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 307.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 307 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 614;
  • 2) 0,000 564 011 828 614 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 228;
  • 3) 0,001 128 023 657 228 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 456;
  • 4) 0,002 256 047 314 456 × 2 = 0 + 0,004 512 094 628 912;
  • 5) 0,004 512 094 628 912 × 2 = 0 + 0,009 024 189 257 824;
  • 6) 0,009 024 189 257 824 × 2 = 0 + 0,018 048 378 515 648;
  • 7) 0,018 048 378 515 648 × 2 = 0 + 0,036 096 757 031 296;
  • 8) 0,036 096 757 031 296 × 2 = 0 + 0,072 193 514 062 592;
  • 9) 0,072 193 514 062 592 × 2 = 0 + 0,144 387 028 125 184;
  • 10) 0,144 387 028 125 184 × 2 = 0 + 0,288 774 056 250 368;
  • 11) 0,288 774 056 250 368 × 2 = 0 + 0,577 548 112 500 736;
  • 12) 0,577 548 112 500 736 × 2 = 1 + 0,155 096 225 001 472;
  • 13) 0,155 096 225 001 472 × 2 = 0 + 0,310 192 450 002 944;
  • 14) 0,310 192 450 002 944 × 2 = 0 + 0,620 384 900 005 888;
  • 15) 0,620 384 900 005 888 × 2 = 1 + 0,240 769 800 011 776;
  • 16) 0,240 769 800 011 776 × 2 = 0 + 0,481 539 600 023 552;
  • 17) 0,481 539 600 023 552 × 2 = 0 + 0,963 079 200 047 104;
  • 18) 0,963 079 200 047 104 × 2 = 1 + 0,926 158 400 094 208;
  • 19) 0,926 158 400 094 208 × 2 = 1 + 0,852 316 800 188 416;
  • 20) 0,852 316 800 188 416 × 2 = 1 + 0,704 633 600 376 832;
  • 21) 0,704 633 600 376 832 × 2 = 1 + 0,409 267 200 753 664;
  • 22) 0,409 267 200 753 664 × 2 = 0 + 0,818 534 401 507 328;
  • 23) 0,818 534 401 507 328 × 2 = 1 + 0,637 068 803 014 656;
  • 24) 0,637 068 803 014 656 × 2 = 1 + 0,274 137 606 029 312;
  • 25) 0,274 137 606 029 312 × 2 = 0 + 0,548 275 212 058 624;
  • 26) 0,548 275 212 058 624 × 2 = 1 + 0,096 550 424 117 248;
  • 27) 0,096 550 424 117 248 × 2 = 0 + 0,193 100 848 234 496;
  • 28) 0,193 100 848 234 496 × 2 = 0 + 0,386 201 696 468 992;
  • 29) 0,386 201 696 468 992 × 2 = 0 + 0,772 403 392 937 984;
  • 30) 0,772 403 392 937 984 × 2 = 1 + 0,544 806 785 875 968;
  • 31) 0,544 806 785 875 968 × 2 = 1 + 0,089 613 571 751 936;
  • 32) 0,089 613 571 751 936 × 2 = 0 + 0,179 227 143 503 872;
  • 33) 0,179 227 143 503 872 × 2 = 0 + 0,358 454 287 007 744;
  • 34) 0,358 454 287 007 744 × 2 = 0 + 0,716 908 574 015 488;
  • 35) 0,716 908 574 015 488 × 2 = 1 + 0,433 817 148 030 976;
  • 36) 0,433 817 148 030 976 × 2 = 0 + 0,867 634 296 061 952;
  • 37) 0,867 634 296 061 952 × 2 = 1 + 0,735 268 592 123 904;
  • 38) 0,735 268 592 123 904 × 2 = 1 + 0,470 537 184 247 808;
  • 39) 0,470 537 184 247 808 × 2 = 0 + 0,941 074 368 495 616;
  • 40) 0,941 074 368 495 616 × 2 = 1 + 0,882 148 736 991 232;
  • 41) 0,882 148 736 991 232 × 2 = 1 + 0,764 297 473 982 464;
  • 42) 0,764 297 473 982 464 × 2 = 1 + 0,528 594 947 964 928;
  • 43) 0,528 594 947 964 928 × 2 = 1 + 0,057 189 895 929 856;
  • 44) 0,057 189 895 929 856 × 2 = 0 + 0,114 379 791 859 712;
  • 45) 0,114 379 791 859 712 × 2 = 0 + 0,228 759 583 719 424;
  • 46) 0,228 759 583 719 424 × 2 = 0 + 0,457 519 167 438 848;
  • 47) 0,457 519 167 438 848 × 2 = 0 + 0,915 038 334 877 696;
  • 48) 0,915 038 334 877 696 × 2 = 1 + 0,830 076 669 755 392;
  • 49) 0,830 076 669 755 392 × 2 = 1 + 0,660 153 339 510 784;
  • 50) 0,660 153 339 510 784 × 2 = 1 + 0,320 306 679 021 568;
  • 51) 0,320 306 679 021 568 × 2 = 0 + 0,640 613 358 043 136;
  • 52) 0,640 613 358 043 136 × 2 = 1 + 0,281 226 716 086 272;
  • 53) 0,281 226 716 086 272 × 2 = 0 + 0,562 453 432 172 544;
  • 54) 0,562 453 432 172 544 × 2 = 1 + 0,124 906 864 345 088;
  • 55) 0,124 906 864 345 088 × 2 = 0 + 0,249 813 728 690 176;
  • 56) 0,249 813 728 690 176 × 2 = 0 + 0,499 627 457 380 352;
  • 57) 0,499 627 457 380 352 × 2 = 0 + 0,999 254 914 760 704;
  • 58) 0,999 254 914 760 704 × 2 = 1 + 0,998 509 829 521 408;
  • 59) 0,998 509 829 521 408 × 2 = 1 + 0,997 019 659 042 816;
  • 60) 0,997 019 659 042 816 × 2 = 1 + 0,994 039 318 085 632;
  • 61) 0,994 039 318 085 632 × 2 = 1 + 0,988 078 636 171 264;
  • 62) 0,988 078 636 171 264 × 2 = 1 + 0,976 157 272 342 528;
  • 63) 0,976 157 272 342 528 × 2 = 1 + 0,952 314 544 685 056;
  • 64) 0,952 314 544 685 056 × 2 = 1 + 0,904 629 089 370 112;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 307(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0001 1101 0100 0111 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 307(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0001 1101 0100 0111 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 307(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0001 1101 0100 0111 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0001 1101 0100 0111 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0001 1101 0100 0111 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0001 1101 0100 0111 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0001 1101 0100 0111 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0001 1101 0100 0111 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0001 1101 0100 0111 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 307 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0001 1101 0100 0111 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 235 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100