-0,000 282 005 914 309 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 309(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 309(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 309| = 0,000 282 005 914 309


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 309.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 309 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 618;
  • 2) 0,000 564 011 828 618 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 236;
  • 3) 0,001 128 023 657 236 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 472;
  • 4) 0,002 256 047 314 472 × 2 = 0 + 0,004 512 094 628 944;
  • 5) 0,004 512 094 628 944 × 2 = 0 + 0,009 024 189 257 888;
  • 6) 0,009 024 189 257 888 × 2 = 0 + 0,018 048 378 515 776;
  • 7) 0,018 048 378 515 776 × 2 = 0 + 0,036 096 757 031 552;
  • 8) 0,036 096 757 031 552 × 2 = 0 + 0,072 193 514 063 104;
  • 9) 0,072 193 514 063 104 × 2 = 0 + 0,144 387 028 126 208;
  • 10) 0,144 387 028 126 208 × 2 = 0 + 0,288 774 056 252 416;
  • 11) 0,288 774 056 252 416 × 2 = 0 + 0,577 548 112 504 832;
  • 12) 0,577 548 112 504 832 × 2 = 1 + 0,155 096 225 009 664;
  • 13) 0,155 096 225 009 664 × 2 = 0 + 0,310 192 450 019 328;
  • 14) 0,310 192 450 019 328 × 2 = 0 + 0,620 384 900 038 656;
  • 15) 0,620 384 900 038 656 × 2 = 1 + 0,240 769 800 077 312;
  • 16) 0,240 769 800 077 312 × 2 = 0 + 0,481 539 600 154 624;
  • 17) 0,481 539 600 154 624 × 2 = 0 + 0,963 079 200 309 248;
  • 18) 0,963 079 200 309 248 × 2 = 1 + 0,926 158 400 618 496;
  • 19) 0,926 158 400 618 496 × 2 = 1 + 0,852 316 801 236 992;
  • 20) 0,852 316 801 236 992 × 2 = 1 + 0,704 633 602 473 984;
  • 21) 0,704 633 602 473 984 × 2 = 1 + 0,409 267 204 947 968;
  • 22) 0,409 267 204 947 968 × 2 = 0 + 0,818 534 409 895 936;
  • 23) 0,818 534 409 895 936 × 2 = 1 + 0,637 068 819 791 872;
  • 24) 0,637 068 819 791 872 × 2 = 1 + 0,274 137 639 583 744;
  • 25) 0,274 137 639 583 744 × 2 = 0 + 0,548 275 279 167 488;
  • 26) 0,548 275 279 167 488 × 2 = 1 + 0,096 550 558 334 976;
  • 27) 0,096 550 558 334 976 × 2 = 0 + 0,193 101 116 669 952;
  • 28) 0,193 101 116 669 952 × 2 = 0 + 0,386 202 233 339 904;
  • 29) 0,386 202 233 339 904 × 2 = 0 + 0,772 404 466 679 808;
  • 30) 0,772 404 466 679 808 × 2 = 1 + 0,544 808 933 359 616;
  • 31) 0,544 808 933 359 616 × 2 = 1 + 0,089 617 866 719 232;
  • 32) 0,089 617 866 719 232 × 2 = 0 + 0,179 235 733 438 464;
  • 33) 0,179 235 733 438 464 × 2 = 0 + 0,358 471 466 876 928;
  • 34) 0,358 471 466 876 928 × 2 = 0 + 0,716 942 933 753 856;
  • 35) 0,716 942 933 753 856 × 2 = 1 + 0,433 885 867 507 712;
  • 36) 0,433 885 867 507 712 × 2 = 0 + 0,867 771 735 015 424;
  • 37) 0,867 771 735 015 424 × 2 = 1 + 0,735 543 470 030 848;
  • 38) 0,735 543 470 030 848 × 2 = 1 + 0,471 086 940 061 696;
  • 39) 0,471 086 940 061 696 × 2 = 0 + 0,942 173 880 123 392;
  • 40) 0,942 173 880 123 392 × 2 = 1 + 0,884 347 760 246 784;
  • 41) 0,884 347 760 246 784 × 2 = 1 + 0,768 695 520 493 568;
  • 42) 0,768 695 520 493 568 × 2 = 1 + 0,537 391 040 987 136;
  • 43) 0,537 391 040 987 136 × 2 = 1 + 0,074 782 081 974 272;
  • 44) 0,074 782 081 974 272 × 2 = 0 + 0,149 564 163 948 544;
  • 45) 0,149 564 163 948 544 × 2 = 0 + 0,299 128 327 897 088;
  • 46) 0,299 128 327 897 088 × 2 = 0 + 0,598 256 655 794 176;
  • 47) 0,598 256 655 794 176 × 2 = 1 + 0,196 513 311 588 352;
  • 48) 0,196 513 311 588 352 × 2 = 0 + 0,393 026 623 176 704;
  • 49) 0,393 026 623 176 704 × 2 = 0 + 0,786 053 246 353 408;
  • 50) 0,786 053 246 353 408 × 2 = 1 + 0,572 106 492 706 816;
  • 51) 0,572 106 492 706 816 × 2 = 1 + 0,144 212 985 413 632;
  • 52) 0,144 212 985 413 632 × 2 = 0 + 0,288 425 970 827 264;
  • 53) 0,288 425 970 827 264 × 2 = 0 + 0,576 851 941 654 528;
  • 54) 0,576 851 941 654 528 × 2 = 1 + 0,153 703 883 309 056;
  • 55) 0,153 703 883 309 056 × 2 = 0 + 0,307 407 766 618 112;
  • 56) 0,307 407 766 618 112 × 2 = 0 + 0,614 815 533 236 224;
  • 57) 0,614 815 533 236 224 × 2 = 1 + 0,229 631 066 472 448;
  • 58) 0,229 631 066 472 448 × 2 = 0 + 0,459 262 132 944 896;
  • 59) 0,459 262 132 944 896 × 2 = 0 + 0,918 524 265 889 792;
  • 60) 0,918 524 265 889 792 × 2 = 1 + 0,837 048 531 779 584;
  • 61) 0,837 048 531 779 584 × 2 = 1 + 0,674 097 063 559 168;
  • 62) 0,674 097 063 559 168 × 2 = 1 + 0,348 194 127 118 336;
  • 63) 0,348 194 127 118 336 × 2 = 0 + 0,696 388 254 236 672;
  • 64) 0,696 388 254 236 672 × 2 = 1 + 0,392 776 508 473 344;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 309(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 0110 0100 1001 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 309(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 0110 0100 1001 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 309(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 0110 0100 1001 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 0110 0100 1001 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 0110 0100 1001 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 0110 0100 1001 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 0110 0100 1001 1101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 0110 0100 1001 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 0110 0100 1001 1101


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 309 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0010 0110 0100 1001 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 363 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100