-0,000 282 005 914 363 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 363(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 363(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 363| = 0,000 282 005 914 363


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 363.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 363 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 726;
  • 2) 0,000 564 011 828 726 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 452;
  • 3) 0,001 128 023 657 452 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 904;
  • 4) 0,002 256 047 314 904 × 2 = 0 + 0,004 512 094 629 808;
  • 5) 0,004 512 094 629 808 × 2 = 0 + 0,009 024 189 259 616;
  • 6) 0,009 024 189 259 616 × 2 = 0 + 0,018 048 378 519 232;
  • 7) 0,018 048 378 519 232 × 2 = 0 + 0,036 096 757 038 464;
  • 8) 0,036 096 757 038 464 × 2 = 0 + 0,072 193 514 076 928;
  • 9) 0,072 193 514 076 928 × 2 = 0 + 0,144 387 028 153 856;
  • 10) 0,144 387 028 153 856 × 2 = 0 + 0,288 774 056 307 712;
  • 11) 0,288 774 056 307 712 × 2 = 0 + 0,577 548 112 615 424;
  • 12) 0,577 548 112 615 424 × 2 = 1 + 0,155 096 225 230 848;
  • 13) 0,155 096 225 230 848 × 2 = 0 + 0,310 192 450 461 696;
  • 14) 0,310 192 450 461 696 × 2 = 0 + 0,620 384 900 923 392;
  • 15) 0,620 384 900 923 392 × 2 = 1 + 0,240 769 801 846 784;
  • 16) 0,240 769 801 846 784 × 2 = 0 + 0,481 539 603 693 568;
  • 17) 0,481 539 603 693 568 × 2 = 0 + 0,963 079 207 387 136;
  • 18) 0,963 079 207 387 136 × 2 = 1 + 0,926 158 414 774 272;
  • 19) 0,926 158 414 774 272 × 2 = 1 + 0,852 316 829 548 544;
  • 20) 0,852 316 829 548 544 × 2 = 1 + 0,704 633 659 097 088;
  • 21) 0,704 633 659 097 088 × 2 = 1 + 0,409 267 318 194 176;
  • 22) 0,409 267 318 194 176 × 2 = 0 + 0,818 534 636 388 352;
  • 23) 0,818 534 636 388 352 × 2 = 1 + 0,637 069 272 776 704;
  • 24) 0,637 069 272 776 704 × 2 = 1 + 0,274 138 545 553 408;
  • 25) 0,274 138 545 553 408 × 2 = 0 + 0,548 277 091 106 816;
  • 26) 0,548 277 091 106 816 × 2 = 1 + 0,096 554 182 213 632;
  • 27) 0,096 554 182 213 632 × 2 = 0 + 0,193 108 364 427 264;
  • 28) 0,193 108 364 427 264 × 2 = 0 + 0,386 216 728 854 528;
  • 29) 0,386 216 728 854 528 × 2 = 0 + 0,772 433 457 709 056;
  • 30) 0,772 433 457 709 056 × 2 = 1 + 0,544 866 915 418 112;
  • 31) 0,544 866 915 418 112 × 2 = 1 + 0,089 733 830 836 224;
  • 32) 0,089 733 830 836 224 × 2 = 0 + 0,179 467 661 672 448;
  • 33) 0,179 467 661 672 448 × 2 = 0 + 0,358 935 323 344 896;
  • 34) 0,358 935 323 344 896 × 2 = 0 + 0,717 870 646 689 792;
  • 35) 0,717 870 646 689 792 × 2 = 1 + 0,435 741 293 379 584;
  • 36) 0,435 741 293 379 584 × 2 = 0 + 0,871 482 586 759 168;
  • 37) 0,871 482 586 759 168 × 2 = 1 + 0,742 965 173 518 336;
  • 38) 0,742 965 173 518 336 × 2 = 1 + 0,485 930 347 036 672;
  • 39) 0,485 930 347 036 672 × 2 = 0 + 0,971 860 694 073 344;
  • 40) 0,971 860 694 073 344 × 2 = 1 + 0,943 721 388 146 688;
  • 41) 0,943 721 388 146 688 × 2 = 1 + 0,887 442 776 293 376;
  • 42) 0,887 442 776 293 376 × 2 = 1 + 0,774 885 552 586 752;
  • 43) 0,774 885 552 586 752 × 2 = 1 + 0,549 771 105 173 504;
  • 44) 0,549 771 105 173 504 × 2 = 1 + 0,099 542 210 347 008;
  • 45) 0,099 542 210 347 008 × 2 = 0 + 0,199 084 420 694 016;
  • 46) 0,199 084 420 694 016 × 2 = 0 + 0,398 168 841 388 032;
  • 47) 0,398 168 841 388 032 × 2 = 0 + 0,796 337 682 776 064;
  • 48) 0,796 337 682 776 064 × 2 = 1 + 0,592 675 365 552 128;
  • 49) 0,592 675 365 552 128 × 2 = 1 + 0,185 350 731 104 256;
  • 50) 0,185 350 731 104 256 × 2 = 0 + 0,370 701 462 208 512;
  • 51) 0,370 701 462 208 512 × 2 = 0 + 0,741 402 924 417 024;
  • 52) 0,741 402 924 417 024 × 2 = 1 + 0,482 805 848 834 048;
  • 53) 0,482 805 848 834 048 × 2 = 0 + 0,965 611 697 668 096;
  • 54) 0,965 611 697 668 096 × 2 = 1 + 0,931 223 395 336 192;
  • 55) 0,931 223 395 336 192 × 2 = 1 + 0,862 446 790 672 384;
  • 56) 0,862 446 790 672 384 × 2 = 1 + 0,724 893 581 344 768;
  • 57) 0,724 893 581 344 768 × 2 = 1 + 0,449 787 162 689 536;
  • 58) 0,449 787 162 689 536 × 2 = 0 + 0,899 574 325 379 072;
  • 59) 0,899 574 325 379 072 × 2 = 1 + 0,799 148 650 758 144;
  • 60) 0,799 148 650 758 144 × 2 = 1 + 0,598 297 301 516 288;
  • 61) 0,598 297 301 516 288 × 2 = 1 + 0,196 594 603 032 576;
  • 62) 0,196 594 603 032 576 × 2 = 0 + 0,393 189 206 065 152;
  • 63) 0,393 189 206 065 152 × 2 = 0 + 0,786 378 412 130 304;
  • 64) 0,786 378 412 130 304 × 2 = 1 + 0,572 756 824 260 608;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 363(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 1001 0111 1011 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 363(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 1001 0111 1011 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 363(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 1001 0111 1011 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 1001 0111 1011 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 1001 0111 1011 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 1001 0111 1011 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 1001 0111 1011 1001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 1001 0111 1011 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 1001 0111 1011 1001


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 363 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 1001 0111 1011 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 382 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100