-0,000 282 005 914 316 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 316(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 316(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 316| = 0,000 282 005 914 316


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 316.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 316 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 632;
  • 2) 0,000 564 011 828 632 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 264;
  • 3) 0,001 128 023 657 264 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 528;
  • 4) 0,002 256 047 314 528 × 2 = 0 + 0,004 512 094 629 056;
  • 5) 0,004 512 094 629 056 × 2 = 0 + 0,009 024 189 258 112;
  • 6) 0,009 024 189 258 112 × 2 = 0 + 0,018 048 378 516 224;
  • 7) 0,018 048 378 516 224 × 2 = 0 + 0,036 096 757 032 448;
  • 8) 0,036 096 757 032 448 × 2 = 0 + 0,072 193 514 064 896;
  • 9) 0,072 193 514 064 896 × 2 = 0 + 0,144 387 028 129 792;
  • 10) 0,144 387 028 129 792 × 2 = 0 + 0,288 774 056 259 584;
  • 11) 0,288 774 056 259 584 × 2 = 0 + 0,577 548 112 519 168;
  • 12) 0,577 548 112 519 168 × 2 = 1 + 0,155 096 225 038 336;
  • 13) 0,155 096 225 038 336 × 2 = 0 + 0,310 192 450 076 672;
  • 14) 0,310 192 450 076 672 × 2 = 0 + 0,620 384 900 153 344;
  • 15) 0,620 384 900 153 344 × 2 = 1 + 0,240 769 800 306 688;
  • 16) 0,240 769 800 306 688 × 2 = 0 + 0,481 539 600 613 376;
  • 17) 0,481 539 600 613 376 × 2 = 0 + 0,963 079 201 226 752;
  • 18) 0,963 079 201 226 752 × 2 = 1 + 0,926 158 402 453 504;
  • 19) 0,926 158 402 453 504 × 2 = 1 + 0,852 316 804 907 008;
  • 20) 0,852 316 804 907 008 × 2 = 1 + 0,704 633 609 814 016;
  • 21) 0,704 633 609 814 016 × 2 = 1 + 0,409 267 219 628 032;
  • 22) 0,409 267 219 628 032 × 2 = 0 + 0,818 534 439 256 064;
  • 23) 0,818 534 439 256 064 × 2 = 1 + 0,637 068 878 512 128;
  • 24) 0,637 068 878 512 128 × 2 = 1 + 0,274 137 757 024 256;
  • 25) 0,274 137 757 024 256 × 2 = 0 + 0,548 275 514 048 512;
  • 26) 0,548 275 514 048 512 × 2 = 1 + 0,096 551 028 097 024;
  • 27) 0,096 551 028 097 024 × 2 = 0 + 0,193 102 056 194 048;
  • 28) 0,193 102 056 194 048 × 2 = 0 + 0,386 204 112 388 096;
  • 29) 0,386 204 112 388 096 × 2 = 0 + 0,772 408 224 776 192;
  • 30) 0,772 408 224 776 192 × 2 = 1 + 0,544 816 449 552 384;
  • 31) 0,544 816 449 552 384 × 2 = 1 + 0,089 632 899 104 768;
  • 32) 0,089 632 899 104 768 × 2 = 0 + 0,179 265 798 209 536;
  • 33) 0,179 265 798 209 536 × 2 = 0 + 0,358 531 596 419 072;
  • 34) 0,358 531 596 419 072 × 2 = 0 + 0,717 063 192 838 144;
  • 35) 0,717 063 192 838 144 × 2 = 1 + 0,434 126 385 676 288;
  • 36) 0,434 126 385 676 288 × 2 = 0 + 0,868 252 771 352 576;
  • 37) 0,868 252 771 352 576 × 2 = 1 + 0,736 505 542 705 152;
  • 38) 0,736 505 542 705 152 × 2 = 1 + 0,473 011 085 410 304;
  • 39) 0,473 011 085 410 304 × 2 = 0 + 0,946 022 170 820 608;
  • 40) 0,946 022 170 820 608 × 2 = 1 + 0,892 044 341 641 216;
  • 41) 0,892 044 341 641 216 × 2 = 1 + 0,784 088 683 282 432;
  • 42) 0,784 088 683 282 432 × 2 = 1 + 0,568 177 366 564 864;
  • 43) 0,568 177 366 564 864 × 2 = 1 + 0,136 354 733 129 728;
  • 44) 0,136 354 733 129 728 × 2 = 0 + 0,272 709 466 259 456;
  • 45) 0,272 709 466 259 456 × 2 = 0 + 0,545 418 932 518 912;
  • 46) 0,545 418 932 518 912 × 2 = 1 + 0,090 837 865 037 824;
  • 47) 0,090 837 865 037 824 × 2 = 0 + 0,181 675 730 075 648;
  • 48) 0,181 675 730 075 648 × 2 = 0 + 0,363 351 460 151 296;
  • 49) 0,363 351 460 151 296 × 2 = 0 + 0,726 702 920 302 592;
  • 50) 0,726 702 920 302 592 × 2 = 1 + 0,453 405 840 605 184;
  • 51) 0,453 405 840 605 184 × 2 = 0 + 0,906 811 681 210 368;
  • 52) 0,906 811 681 210 368 × 2 = 1 + 0,813 623 362 420 736;
  • 53) 0,813 623 362 420 736 × 2 = 1 + 0,627 246 724 841 472;
  • 54) 0,627 246 724 841 472 × 2 = 1 + 0,254 493 449 682 944;
  • 55) 0,254 493 449 682 944 × 2 = 0 + 0,508 986 899 365 888;
  • 56) 0,508 986 899 365 888 × 2 = 1 + 0,017 973 798 731 776;
  • 57) 0,017 973 798 731 776 × 2 = 0 + 0,035 947 597 463 552;
  • 58) 0,035 947 597 463 552 × 2 = 0 + 0,071 895 194 927 104;
  • 59) 0,071 895 194 927 104 × 2 = 0 + 0,143 790 389 854 208;
  • 60) 0,143 790 389 854 208 × 2 = 0 + 0,287 580 779 708 416;
  • 61) 0,287 580 779 708 416 × 2 = 0 + 0,575 161 559 416 832;
  • 62) 0,575 161 559 416 832 × 2 = 1 + 0,150 323 118 833 664;
  • 63) 0,150 323 118 833 664 × 2 = 0 + 0,300 646 237 667 328;
  • 64) 0,300 646 237 667 328 × 2 = 0 + 0,601 292 475 334 656;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 316(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0100 0101 1101 0000 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 316(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0100 0101 1101 0000 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 316(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0100 0101 1101 0000 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0100 0101 1101 0000 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0100 0101 1101 0000 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0100 0101 1101 0000 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0100 0101 1101 0000 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0100 0101 1101 0000 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0100 0101 1101 0000 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 316 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0100 0101 1101 0000 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 399 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100