-0,000 282 005 914 399 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 399(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 399(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 399| = 0,000 282 005 914 399


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 399.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 399 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 798;
  • 2) 0,000 564 011 828 798 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 596;
  • 3) 0,001 128 023 657 596 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 192;
  • 4) 0,002 256 047 315 192 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 384;
  • 5) 0,004 512 094 630 384 × 2 = 0 + 0,009 024 189 260 768;
  • 6) 0,009 024 189 260 768 × 2 = 0 + 0,018 048 378 521 536;
  • 7) 0,018 048 378 521 536 × 2 = 0 + 0,036 096 757 043 072;
  • 8) 0,036 096 757 043 072 × 2 = 0 + 0,072 193 514 086 144;
  • 9) 0,072 193 514 086 144 × 2 = 0 + 0,144 387 028 172 288;
  • 10) 0,144 387 028 172 288 × 2 = 0 + 0,288 774 056 344 576;
  • 11) 0,288 774 056 344 576 × 2 = 0 + 0,577 548 112 689 152;
  • 12) 0,577 548 112 689 152 × 2 = 1 + 0,155 096 225 378 304;
  • 13) 0,155 096 225 378 304 × 2 = 0 + 0,310 192 450 756 608;
  • 14) 0,310 192 450 756 608 × 2 = 0 + 0,620 384 901 513 216;
  • 15) 0,620 384 901 513 216 × 2 = 1 + 0,240 769 803 026 432;
  • 16) 0,240 769 803 026 432 × 2 = 0 + 0,481 539 606 052 864;
  • 17) 0,481 539 606 052 864 × 2 = 0 + 0,963 079 212 105 728;
  • 18) 0,963 079 212 105 728 × 2 = 1 + 0,926 158 424 211 456;
  • 19) 0,926 158 424 211 456 × 2 = 1 + 0,852 316 848 422 912;
  • 20) 0,852 316 848 422 912 × 2 = 1 + 0,704 633 696 845 824;
  • 21) 0,704 633 696 845 824 × 2 = 1 + 0,409 267 393 691 648;
  • 22) 0,409 267 393 691 648 × 2 = 0 + 0,818 534 787 383 296;
  • 23) 0,818 534 787 383 296 × 2 = 1 + 0,637 069 574 766 592;
  • 24) 0,637 069 574 766 592 × 2 = 1 + 0,274 139 149 533 184;
  • 25) 0,274 139 149 533 184 × 2 = 0 + 0,548 278 299 066 368;
  • 26) 0,548 278 299 066 368 × 2 = 1 + 0,096 556 598 132 736;
  • 27) 0,096 556 598 132 736 × 2 = 0 + 0,193 113 196 265 472;
  • 28) 0,193 113 196 265 472 × 2 = 0 + 0,386 226 392 530 944;
  • 29) 0,386 226 392 530 944 × 2 = 0 + 0,772 452 785 061 888;
  • 30) 0,772 452 785 061 888 × 2 = 1 + 0,544 905 570 123 776;
  • 31) 0,544 905 570 123 776 × 2 = 1 + 0,089 811 140 247 552;
  • 32) 0,089 811 140 247 552 × 2 = 0 + 0,179 622 280 495 104;
  • 33) 0,179 622 280 495 104 × 2 = 0 + 0,359 244 560 990 208;
  • 34) 0,359 244 560 990 208 × 2 = 0 + 0,718 489 121 980 416;
  • 35) 0,718 489 121 980 416 × 2 = 1 + 0,436 978 243 960 832;
  • 36) 0,436 978 243 960 832 × 2 = 0 + 0,873 956 487 921 664;
  • 37) 0,873 956 487 921 664 × 2 = 1 + 0,747 912 975 843 328;
  • 38) 0,747 912 975 843 328 × 2 = 1 + 0,495 825 951 686 656;
  • 39) 0,495 825 951 686 656 × 2 = 0 + 0,991 651 903 373 312;
  • 40) 0,991 651 903 373 312 × 2 = 1 + 0,983 303 806 746 624;
  • 41) 0,983 303 806 746 624 × 2 = 1 + 0,966 607 613 493 248;
  • 42) 0,966 607 613 493 248 × 2 = 1 + 0,933 215 226 986 496;
  • 43) 0,933 215 226 986 496 × 2 = 1 + 0,866 430 453 972 992;
  • 44) 0,866 430 453 972 992 × 2 = 1 + 0,732 860 907 945 984;
  • 45) 0,732 860 907 945 984 × 2 = 1 + 0,465 721 815 891 968;
  • 46) 0,465 721 815 891 968 × 2 = 0 + 0,931 443 631 783 936;
  • 47) 0,931 443 631 783 936 × 2 = 1 + 0,862 887 263 567 872;
  • 48) 0,862 887 263 567 872 × 2 = 1 + 0,725 774 527 135 744;
  • 49) 0,725 774 527 135 744 × 2 = 1 + 0,451 549 054 271 488;
  • 50) 0,451 549 054 271 488 × 2 = 0 + 0,903 098 108 542 976;
  • 51) 0,903 098 108 542 976 × 2 = 1 + 0,806 196 217 085 952;
  • 52) 0,806 196 217 085 952 × 2 = 1 + 0,612 392 434 171 904;
  • 53) 0,612 392 434 171 904 × 2 = 1 + 0,224 784 868 343 808;
  • 54) 0,224 784 868 343 808 × 2 = 0 + 0,449 569 736 687 616;
  • 55) 0,449 569 736 687 616 × 2 = 0 + 0,899 139 473 375 232;
  • 56) 0,899 139 473 375 232 × 2 = 1 + 0,798 278 946 750 464;
  • 57) 0,798 278 946 750 464 × 2 = 1 + 0,596 557 893 500 928;
  • 58) 0,596 557 893 500 928 × 2 = 1 + 0,193 115 787 001 856;
  • 59) 0,193 115 787 001 856 × 2 = 0 + 0,386 231 574 003 712;
  • 60) 0,386 231 574 003 712 × 2 = 0 + 0,772 463 148 007 424;
  • 61) 0,772 463 148 007 424 × 2 = 1 + 0,544 926 296 014 848;
  • 62) 0,544 926 296 014 848 × 2 = 1 + 0,089 852 592 029 696;
  • 63) 0,089 852 592 029 696 × 2 = 0 + 0,179 705 184 059 392;
  • 64) 0,179 705 184 059 392 × 2 = 0 + 0,359 410 368 118 784;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 399(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 1011 1001 1100 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 399(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 1011 1001 1100 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 399(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 1011 1001 1100 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 1011 1001 1100 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 1011 1001 1100 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 1011 1001 1100 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 1011 1001 1100 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 1011 1001 1100 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 1011 1001 1100 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 399 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1011 1011 1001 1100 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 345 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100