-0,000 282 005 914 336 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 336(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 336(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 336| = 0,000 282 005 914 336


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 336.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 336 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 672;
  • 2) 0,000 564 011 828 672 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 344;
  • 3) 0,001 128 023 657 344 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 688;
  • 4) 0,002 256 047 314 688 × 2 = 0 + 0,004 512 094 629 376;
  • 5) 0,004 512 094 629 376 × 2 = 0 + 0,009 024 189 258 752;
  • 6) 0,009 024 189 258 752 × 2 = 0 + 0,018 048 378 517 504;
  • 7) 0,018 048 378 517 504 × 2 = 0 + 0,036 096 757 035 008;
  • 8) 0,036 096 757 035 008 × 2 = 0 + 0,072 193 514 070 016;
  • 9) 0,072 193 514 070 016 × 2 = 0 + 0,144 387 028 140 032;
  • 10) 0,144 387 028 140 032 × 2 = 0 + 0,288 774 056 280 064;
  • 11) 0,288 774 056 280 064 × 2 = 0 + 0,577 548 112 560 128;
  • 12) 0,577 548 112 560 128 × 2 = 1 + 0,155 096 225 120 256;
  • 13) 0,155 096 225 120 256 × 2 = 0 + 0,310 192 450 240 512;
  • 14) 0,310 192 450 240 512 × 2 = 0 + 0,620 384 900 481 024;
  • 15) 0,620 384 900 481 024 × 2 = 1 + 0,240 769 800 962 048;
  • 16) 0,240 769 800 962 048 × 2 = 0 + 0,481 539 601 924 096;
  • 17) 0,481 539 601 924 096 × 2 = 0 + 0,963 079 203 848 192;
  • 18) 0,963 079 203 848 192 × 2 = 1 + 0,926 158 407 696 384;
  • 19) 0,926 158 407 696 384 × 2 = 1 + 0,852 316 815 392 768;
  • 20) 0,852 316 815 392 768 × 2 = 1 + 0,704 633 630 785 536;
  • 21) 0,704 633 630 785 536 × 2 = 1 + 0,409 267 261 571 072;
  • 22) 0,409 267 261 571 072 × 2 = 0 + 0,818 534 523 142 144;
  • 23) 0,818 534 523 142 144 × 2 = 1 + 0,637 069 046 284 288;
  • 24) 0,637 069 046 284 288 × 2 = 1 + 0,274 138 092 568 576;
  • 25) 0,274 138 092 568 576 × 2 = 0 + 0,548 276 185 137 152;
  • 26) 0,548 276 185 137 152 × 2 = 1 + 0,096 552 370 274 304;
  • 27) 0,096 552 370 274 304 × 2 = 0 + 0,193 104 740 548 608;
  • 28) 0,193 104 740 548 608 × 2 = 0 + 0,386 209 481 097 216;
  • 29) 0,386 209 481 097 216 × 2 = 0 + 0,772 418 962 194 432;
  • 30) 0,772 418 962 194 432 × 2 = 1 + 0,544 837 924 388 864;
  • 31) 0,544 837 924 388 864 × 2 = 1 + 0,089 675 848 777 728;
  • 32) 0,089 675 848 777 728 × 2 = 0 + 0,179 351 697 555 456;
  • 33) 0,179 351 697 555 456 × 2 = 0 + 0,358 703 395 110 912;
  • 34) 0,358 703 395 110 912 × 2 = 0 + 0,717 406 790 221 824;
  • 35) 0,717 406 790 221 824 × 2 = 1 + 0,434 813 580 443 648;
  • 36) 0,434 813 580 443 648 × 2 = 0 + 0,869 627 160 887 296;
  • 37) 0,869 627 160 887 296 × 2 = 1 + 0,739 254 321 774 592;
  • 38) 0,739 254 321 774 592 × 2 = 1 + 0,478 508 643 549 184;
  • 39) 0,478 508 643 549 184 × 2 = 0 + 0,957 017 287 098 368;
  • 40) 0,957 017 287 098 368 × 2 = 1 + 0,914 034 574 196 736;
  • 41) 0,914 034 574 196 736 × 2 = 1 + 0,828 069 148 393 472;
  • 42) 0,828 069 148 393 472 × 2 = 1 + 0,656 138 296 786 944;
  • 43) 0,656 138 296 786 944 × 2 = 1 + 0,312 276 593 573 888;
  • 44) 0,312 276 593 573 888 × 2 = 0 + 0,624 553 187 147 776;
  • 45) 0,624 553 187 147 776 × 2 = 1 + 0,249 106 374 295 552;
  • 46) 0,249 106 374 295 552 × 2 = 0 + 0,498 212 748 591 104;
  • 47) 0,498 212 748 591 104 × 2 = 0 + 0,996 425 497 182 208;
  • 48) 0,996 425 497 182 208 × 2 = 1 + 0,992 850 994 364 416;
  • 49) 0,992 850 994 364 416 × 2 = 1 + 0,985 701 988 728 832;
  • 50) 0,985 701 988 728 832 × 2 = 1 + 0,971 403 977 457 664;
  • 51) 0,971 403 977 457 664 × 2 = 1 + 0,942 807 954 915 328;
  • 52) 0,942 807 954 915 328 × 2 = 1 + 0,885 615 909 830 656;
  • 53) 0,885 615 909 830 656 × 2 = 1 + 0,771 231 819 661 312;
  • 54) 0,771 231 819 661 312 × 2 = 1 + 0,542 463 639 322 624;
  • 55) 0,542 463 639 322 624 × 2 = 1 + 0,084 927 278 645 248;
  • 56) 0,084 927 278 645 248 × 2 = 0 + 0,169 854 557 290 496;
  • 57) 0,169 854 557 290 496 × 2 = 0 + 0,339 709 114 580 992;
  • 58) 0,339 709 114 580 992 × 2 = 0 + 0,679 418 229 161 984;
  • 59) 0,679 418 229 161 984 × 2 = 1 + 0,358 836 458 323 968;
  • 60) 0,358 836 458 323 968 × 2 = 0 + 0,717 672 916 647 936;
  • 61) 0,717 672 916 647 936 × 2 = 1 + 0,435 345 833 295 872;
  • 62) 0,435 345 833 295 872 × 2 = 0 + 0,870 691 666 591 744;
  • 63) 0,870 691 666 591 744 × 2 = 1 + 0,741 383 333 183 488;
  • 64) 0,741 383 333 183 488 × 2 = 1 + 0,482 766 666 366 976;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 336(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1001 1111 1110 0010 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 336(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1001 1111 1110 0010 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 336(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1001 1111 1110 0010 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1001 1111 1110 0010 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1001 1111 1110 0010 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1001 1111 1110 0010 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1001 1111 1110 0010 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1001 1111 1110 0010 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1001 1111 1110 0010 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 336 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 1001 1111 1110 0010 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 32 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100