-0,000 282 005 914 361 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 361(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 361(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 361| = 0,000 282 005 914 361


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 361.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 361 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 722;
  • 2) 0,000 564 011 828 722 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 444;
  • 3) 0,001 128 023 657 444 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 888;
  • 4) 0,002 256 047 314 888 × 2 = 0 + 0,004 512 094 629 776;
  • 5) 0,004 512 094 629 776 × 2 = 0 + 0,009 024 189 259 552;
  • 6) 0,009 024 189 259 552 × 2 = 0 + 0,018 048 378 519 104;
  • 7) 0,018 048 378 519 104 × 2 = 0 + 0,036 096 757 038 208;
  • 8) 0,036 096 757 038 208 × 2 = 0 + 0,072 193 514 076 416;
  • 9) 0,072 193 514 076 416 × 2 = 0 + 0,144 387 028 152 832;
  • 10) 0,144 387 028 152 832 × 2 = 0 + 0,288 774 056 305 664;
  • 11) 0,288 774 056 305 664 × 2 = 0 + 0,577 548 112 611 328;
  • 12) 0,577 548 112 611 328 × 2 = 1 + 0,155 096 225 222 656;
  • 13) 0,155 096 225 222 656 × 2 = 0 + 0,310 192 450 445 312;
  • 14) 0,310 192 450 445 312 × 2 = 0 + 0,620 384 900 890 624;
  • 15) 0,620 384 900 890 624 × 2 = 1 + 0,240 769 801 781 248;
  • 16) 0,240 769 801 781 248 × 2 = 0 + 0,481 539 603 562 496;
  • 17) 0,481 539 603 562 496 × 2 = 0 + 0,963 079 207 124 992;
  • 18) 0,963 079 207 124 992 × 2 = 1 + 0,926 158 414 249 984;
  • 19) 0,926 158 414 249 984 × 2 = 1 + 0,852 316 828 499 968;
  • 20) 0,852 316 828 499 968 × 2 = 1 + 0,704 633 656 999 936;
  • 21) 0,704 633 656 999 936 × 2 = 1 + 0,409 267 313 999 872;
  • 22) 0,409 267 313 999 872 × 2 = 0 + 0,818 534 627 999 744;
  • 23) 0,818 534 627 999 744 × 2 = 1 + 0,637 069 255 999 488;
  • 24) 0,637 069 255 999 488 × 2 = 1 + 0,274 138 511 998 976;
  • 25) 0,274 138 511 998 976 × 2 = 0 + 0,548 277 023 997 952;
  • 26) 0,548 277 023 997 952 × 2 = 1 + 0,096 554 047 995 904;
  • 27) 0,096 554 047 995 904 × 2 = 0 + 0,193 108 095 991 808;
  • 28) 0,193 108 095 991 808 × 2 = 0 + 0,386 216 191 983 616;
  • 29) 0,386 216 191 983 616 × 2 = 0 + 0,772 432 383 967 232;
  • 30) 0,772 432 383 967 232 × 2 = 1 + 0,544 864 767 934 464;
  • 31) 0,544 864 767 934 464 × 2 = 1 + 0,089 729 535 868 928;
  • 32) 0,089 729 535 868 928 × 2 = 0 + 0,179 459 071 737 856;
  • 33) 0,179 459 071 737 856 × 2 = 0 + 0,358 918 143 475 712;
  • 34) 0,358 918 143 475 712 × 2 = 0 + 0,717 836 286 951 424;
  • 35) 0,717 836 286 951 424 × 2 = 1 + 0,435 672 573 902 848;
  • 36) 0,435 672 573 902 848 × 2 = 0 + 0,871 345 147 805 696;
  • 37) 0,871 345 147 805 696 × 2 = 1 + 0,742 690 295 611 392;
  • 38) 0,742 690 295 611 392 × 2 = 1 + 0,485 380 591 222 784;
  • 39) 0,485 380 591 222 784 × 2 = 0 + 0,970 761 182 445 568;
  • 40) 0,970 761 182 445 568 × 2 = 1 + 0,941 522 364 891 136;
  • 41) 0,941 522 364 891 136 × 2 = 1 + 0,883 044 729 782 272;
  • 42) 0,883 044 729 782 272 × 2 = 1 + 0,766 089 459 564 544;
  • 43) 0,766 089 459 564 544 × 2 = 1 + 0,532 178 919 129 088;
  • 44) 0,532 178 919 129 088 × 2 = 1 + 0,064 357 838 258 176;
  • 45) 0,064 357 838 258 176 × 2 = 0 + 0,128 715 676 516 352;
  • 46) 0,128 715 676 516 352 × 2 = 0 + 0,257 431 353 032 704;
  • 47) 0,257 431 353 032 704 × 2 = 0 + 0,514 862 706 065 408;
  • 48) 0,514 862 706 065 408 × 2 = 1 + 0,029 725 412 130 816;
  • 49) 0,029 725 412 130 816 × 2 = 0 + 0,059 450 824 261 632;
  • 50) 0,059 450 824 261 632 × 2 = 0 + 0,118 901 648 523 264;
  • 51) 0,118 901 648 523 264 × 2 = 0 + 0,237 803 297 046 528;
  • 52) 0,237 803 297 046 528 × 2 = 0 + 0,475 606 594 093 056;
  • 53) 0,475 606 594 093 056 × 2 = 0 + 0,951 213 188 186 112;
  • 54) 0,951 213 188 186 112 × 2 = 1 + 0,902 426 376 372 224;
  • 55) 0,902 426 376 372 224 × 2 = 1 + 0,804 852 752 744 448;
  • 56) 0,804 852 752 744 448 × 2 = 1 + 0,609 705 505 488 896;
  • 57) 0,609 705 505 488 896 × 2 = 1 + 0,219 411 010 977 792;
  • 58) 0,219 411 010 977 792 × 2 = 0 + 0,438 822 021 955 584;
  • 59) 0,438 822 021 955 584 × 2 = 0 + 0,877 644 043 911 168;
  • 60) 0,877 644 043 911 168 × 2 = 1 + 0,755 288 087 822 336;
  • 61) 0,755 288 087 822 336 × 2 = 1 + 0,510 576 175 644 672;
  • 62) 0,510 576 175 644 672 × 2 = 1 + 0,021 152 351 289 344;
  • 63) 0,021 152 351 289 344 × 2 = 0 + 0,042 304 702 578 688;
  • 64) 0,042 304 702 578 688 × 2 = 0 + 0,084 609 405 157 376;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 361(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 0000 0111 1001 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 361(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 0000 0111 1001 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 361(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 0000 0111 1001 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 0000 0111 1001 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 0000 0111 1001 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 0000 0111 1001 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 0000 0111 1001 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 0000 0111 1001 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 0000 0111 1001 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 361 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0001 0000 0111 1001 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 446 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100