-0,000 282 005 914 382 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 382(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 382(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 382| = 0,000 282 005 914 382


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 382.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 382 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 764;
  • 2) 0,000 564 011 828 764 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 528;
  • 3) 0,001 128 023 657 528 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 056;
  • 4) 0,002 256 047 315 056 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 112;
  • 5) 0,004 512 094 630 112 × 2 = 0 + 0,009 024 189 260 224;
  • 6) 0,009 024 189 260 224 × 2 = 0 + 0,018 048 378 520 448;
  • 7) 0,018 048 378 520 448 × 2 = 0 + 0,036 096 757 040 896;
  • 8) 0,036 096 757 040 896 × 2 = 0 + 0,072 193 514 081 792;
  • 9) 0,072 193 514 081 792 × 2 = 0 + 0,144 387 028 163 584;
  • 10) 0,144 387 028 163 584 × 2 = 0 + 0,288 774 056 327 168;
  • 11) 0,288 774 056 327 168 × 2 = 0 + 0,577 548 112 654 336;
  • 12) 0,577 548 112 654 336 × 2 = 1 + 0,155 096 225 308 672;
  • 13) 0,155 096 225 308 672 × 2 = 0 + 0,310 192 450 617 344;
  • 14) 0,310 192 450 617 344 × 2 = 0 + 0,620 384 901 234 688;
  • 15) 0,620 384 901 234 688 × 2 = 1 + 0,240 769 802 469 376;
  • 16) 0,240 769 802 469 376 × 2 = 0 + 0,481 539 604 938 752;
  • 17) 0,481 539 604 938 752 × 2 = 0 + 0,963 079 209 877 504;
  • 18) 0,963 079 209 877 504 × 2 = 1 + 0,926 158 419 755 008;
  • 19) 0,926 158 419 755 008 × 2 = 1 + 0,852 316 839 510 016;
  • 20) 0,852 316 839 510 016 × 2 = 1 + 0,704 633 679 020 032;
  • 21) 0,704 633 679 020 032 × 2 = 1 + 0,409 267 358 040 064;
  • 22) 0,409 267 358 040 064 × 2 = 0 + 0,818 534 716 080 128;
  • 23) 0,818 534 716 080 128 × 2 = 1 + 0,637 069 432 160 256;
  • 24) 0,637 069 432 160 256 × 2 = 1 + 0,274 138 864 320 512;
  • 25) 0,274 138 864 320 512 × 2 = 0 + 0,548 277 728 641 024;
  • 26) 0,548 277 728 641 024 × 2 = 1 + 0,096 555 457 282 048;
  • 27) 0,096 555 457 282 048 × 2 = 0 + 0,193 110 914 564 096;
  • 28) 0,193 110 914 564 096 × 2 = 0 + 0,386 221 829 128 192;
  • 29) 0,386 221 829 128 192 × 2 = 0 + 0,772 443 658 256 384;
  • 30) 0,772 443 658 256 384 × 2 = 1 + 0,544 887 316 512 768;
  • 31) 0,544 887 316 512 768 × 2 = 1 + 0,089 774 633 025 536;
  • 32) 0,089 774 633 025 536 × 2 = 0 + 0,179 549 266 051 072;
  • 33) 0,179 549 266 051 072 × 2 = 0 + 0,359 098 532 102 144;
  • 34) 0,359 098 532 102 144 × 2 = 0 + 0,718 197 064 204 288;
  • 35) 0,718 197 064 204 288 × 2 = 1 + 0,436 394 128 408 576;
  • 36) 0,436 394 128 408 576 × 2 = 0 + 0,872 788 256 817 152;
  • 37) 0,872 788 256 817 152 × 2 = 1 + 0,745 576 513 634 304;
  • 38) 0,745 576 513 634 304 × 2 = 1 + 0,491 153 027 268 608;
  • 39) 0,491 153 027 268 608 × 2 = 0 + 0,982 306 054 537 216;
  • 40) 0,982 306 054 537 216 × 2 = 1 + 0,964 612 109 074 432;
  • 41) 0,964 612 109 074 432 × 2 = 1 + 0,929 224 218 148 864;
  • 42) 0,929 224 218 148 864 × 2 = 1 + 0,858 448 436 297 728;
  • 43) 0,858 448 436 297 728 × 2 = 1 + 0,716 896 872 595 456;
  • 44) 0,716 896 872 595 456 × 2 = 1 + 0,433 793 745 190 912;
  • 45) 0,433 793 745 190 912 × 2 = 0 + 0,867 587 490 381 824;
  • 46) 0,867 587 490 381 824 × 2 = 1 + 0,735 174 980 763 648;
  • 47) 0,735 174 980 763 648 × 2 = 1 + 0,470 349 961 527 296;
  • 48) 0,470 349 961 527 296 × 2 = 0 + 0,940 699 923 054 592;
  • 49) 0,940 699 923 054 592 × 2 = 1 + 0,881 399 846 109 184;
  • 50) 0,881 399 846 109 184 × 2 = 1 + 0,762 799 692 218 368;
  • 51) 0,762 799 692 218 368 × 2 = 1 + 0,525 599 384 436 736;
  • 52) 0,525 599 384 436 736 × 2 = 1 + 0,051 198 768 873 472;
  • 53) 0,051 198 768 873 472 × 2 = 0 + 0,102 397 537 746 944;
  • 54) 0,102 397 537 746 944 × 2 = 0 + 0,204 795 075 493 888;
  • 55) 0,204 795 075 493 888 × 2 = 0 + 0,409 590 150 987 776;
  • 56) 0,409 590 150 987 776 × 2 = 0 + 0,819 180 301 975 552;
  • 57) 0,819 180 301 975 552 × 2 = 1 + 0,638 360 603 951 104;
  • 58) 0,638 360 603 951 104 × 2 = 1 + 0,276 721 207 902 208;
  • 59) 0,276 721 207 902 208 × 2 = 0 + 0,553 442 415 804 416;
  • 60) 0,553 442 415 804 416 × 2 = 1 + 0,106 884 831 608 832;
  • 61) 0,106 884 831 608 832 × 2 = 0 + 0,213 769 663 217 664;
  • 62) 0,213 769 663 217 664 × 2 = 0 + 0,427 539 326 435 328;
  • 63) 0,427 539 326 435 328 × 2 = 0 + 0,855 078 652 870 656;
  • 64) 0,855 078 652 870 656 × 2 = 1 + 0,710 157 305 741 312;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 382(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 1111 0000 1101 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 382(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 1111 0000 1101 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 382(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 1111 0000 1101 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 1111 0000 1101 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 1111 0000 1101 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 1111 0000 1101 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 1111 0000 1101 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 1111 0000 1101 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 1111 0000 1101 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 382 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0110 1111 0000 1101 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 373 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100