-0,000 282 005 914 365 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 365(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 365(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 365| = 0,000 282 005 914 365


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 365.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 365 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 73;
  • 2) 0,000 564 011 828 73 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 46;
  • 3) 0,001 128 023 657 46 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 92;
  • 4) 0,002 256 047 314 92 × 2 = 0 + 0,004 512 094 629 84;
  • 5) 0,004 512 094 629 84 × 2 = 0 + 0,009 024 189 259 68;
  • 6) 0,009 024 189 259 68 × 2 = 0 + 0,018 048 378 519 36;
  • 7) 0,018 048 378 519 36 × 2 = 0 + 0,036 096 757 038 72;
  • 8) 0,036 096 757 038 72 × 2 = 0 + 0,072 193 514 077 44;
  • 9) 0,072 193 514 077 44 × 2 = 0 + 0,144 387 028 154 88;
  • 10) 0,144 387 028 154 88 × 2 = 0 + 0,288 774 056 309 76;
  • 11) 0,288 774 056 309 76 × 2 = 0 + 0,577 548 112 619 52;
  • 12) 0,577 548 112 619 52 × 2 = 1 + 0,155 096 225 239 04;
  • 13) 0,155 096 225 239 04 × 2 = 0 + 0,310 192 450 478 08;
  • 14) 0,310 192 450 478 08 × 2 = 0 + 0,620 384 900 956 16;
  • 15) 0,620 384 900 956 16 × 2 = 1 + 0,240 769 801 912 32;
  • 16) 0,240 769 801 912 32 × 2 = 0 + 0,481 539 603 824 64;
  • 17) 0,481 539 603 824 64 × 2 = 0 + 0,963 079 207 649 28;
  • 18) 0,963 079 207 649 28 × 2 = 1 + 0,926 158 415 298 56;
  • 19) 0,926 158 415 298 56 × 2 = 1 + 0,852 316 830 597 12;
  • 20) 0,852 316 830 597 12 × 2 = 1 + 0,704 633 661 194 24;
  • 21) 0,704 633 661 194 24 × 2 = 1 + 0,409 267 322 388 48;
  • 22) 0,409 267 322 388 48 × 2 = 0 + 0,818 534 644 776 96;
  • 23) 0,818 534 644 776 96 × 2 = 1 + 0,637 069 289 553 92;
  • 24) 0,637 069 289 553 92 × 2 = 1 + 0,274 138 579 107 84;
  • 25) 0,274 138 579 107 84 × 2 = 0 + 0,548 277 158 215 68;
  • 26) 0,548 277 158 215 68 × 2 = 1 + 0,096 554 316 431 36;
  • 27) 0,096 554 316 431 36 × 2 = 0 + 0,193 108 632 862 72;
  • 28) 0,193 108 632 862 72 × 2 = 0 + 0,386 217 265 725 44;
  • 29) 0,386 217 265 725 44 × 2 = 0 + 0,772 434 531 450 88;
  • 30) 0,772 434 531 450 88 × 2 = 1 + 0,544 869 062 901 76;
  • 31) 0,544 869 062 901 76 × 2 = 1 + 0,089 738 125 803 52;
  • 32) 0,089 738 125 803 52 × 2 = 0 + 0,179 476 251 607 04;
  • 33) 0,179 476 251 607 04 × 2 = 0 + 0,358 952 503 214 08;
  • 34) 0,358 952 503 214 08 × 2 = 0 + 0,717 905 006 428 16;
  • 35) 0,717 905 006 428 16 × 2 = 1 + 0,435 810 012 856 32;
  • 36) 0,435 810 012 856 32 × 2 = 0 + 0,871 620 025 712 64;
  • 37) 0,871 620 025 712 64 × 2 = 1 + 0,743 240 051 425 28;
  • 38) 0,743 240 051 425 28 × 2 = 1 + 0,486 480 102 850 56;
  • 39) 0,486 480 102 850 56 × 2 = 0 + 0,972 960 205 701 12;
  • 40) 0,972 960 205 701 12 × 2 = 1 + 0,945 920 411 402 24;
  • 41) 0,945 920 411 402 24 × 2 = 1 + 0,891 840 822 804 48;
  • 42) 0,891 840 822 804 48 × 2 = 1 + 0,783 681 645 608 96;
  • 43) 0,783 681 645 608 96 × 2 = 1 + 0,567 363 291 217 92;
  • 44) 0,567 363 291 217 92 × 2 = 1 + 0,134 726 582 435 84;
  • 45) 0,134 726 582 435 84 × 2 = 0 + 0,269 453 164 871 68;
  • 46) 0,269 453 164 871 68 × 2 = 0 + 0,538 906 329 743 36;
  • 47) 0,538 906 329 743 36 × 2 = 1 + 0,077 812 659 486 72;
  • 48) 0,077 812 659 486 72 × 2 = 0 + 0,155 625 318 973 44;
  • 49) 0,155 625 318 973 44 × 2 = 0 + 0,311 250 637 946 88;
  • 50) 0,311 250 637 946 88 × 2 = 0 + 0,622 501 275 893 76;
  • 51) 0,622 501 275 893 76 × 2 = 1 + 0,245 002 551 787 52;
  • 52) 0,245 002 551 787 52 × 2 = 0 + 0,490 005 103 575 04;
  • 53) 0,490 005 103 575 04 × 2 = 0 + 0,980 010 207 150 08;
  • 54) 0,980 010 207 150 08 × 2 = 1 + 0,960 020 414 300 16;
  • 55) 0,960 020 414 300 16 × 2 = 1 + 0,920 040 828 600 32;
  • 56) 0,920 040 828 600 32 × 2 = 1 + 0,840 081 657 200 64;
  • 57) 0,840 081 657 200 64 × 2 = 1 + 0,680 163 314 401 28;
  • 58) 0,680 163 314 401 28 × 2 = 1 + 0,360 326 628 802 56;
  • 59) 0,360 326 628 802 56 × 2 = 0 + 0,720 653 257 605 12;
  • 60) 0,720 653 257 605 12 × 2 = 1 + 0,441 306 515 210 24;
  • 61) 0,441 306 515 210 24 × 2 = 0 + 0,882 613 030 420 48;
  • 62) 0,882 613 030 420 48 × 2 = 1 + 0,765 226 060 840 96;
  • 63) 0,765 226 060 840 96 × 2 = 1 + 0,530 452 121 681 92;
  • 64) 0,530 452 121 681 92 × 2 = 1 + 0,060 904 243 363 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 365(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0010 0111 1101 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 365(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0010 0111 1101 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 365(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0010 0111 1101 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0010 0111 1101 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0010 0111 1101 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0010 0111 1101 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0010 0111 1101 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0010 0111 1101 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0010 0111 1101 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 365 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0010 0111 1101 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 426 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100