-0,000 282 005 914 426 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 426(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 426(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 426| = 0,000 282 005 914 426


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 426.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 426 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 852;
  • 2) 0,000 564 011 828 852 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 704;
  • 3) 0,001 128 023 657 704 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 408;
  • 4) 0,002 256 047 315 408 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 816;
  • 5) 0,004 512 094 630 816 × 2 = 0 + 0,009 024 189 261 632;
  • 6) 0,009 024 189 261 632 × 2 = 0 + 0,018 048 378 523 264;
  • 7) 0,018 048 378 523 264 × 2 = 0 + 0,036 096 757 046 528;
  • 8) 0,036 096 757 046 528 × 2 = 0 + 0,072 193 514 093 056;
  • 9) 0,072 193 514 093 056 × 2 = 0 + 0,144 387 028 186 112;
  • 10) 0,144 387 028 186 112 × 2 = 0 + 0,288 774 056 372 224;
  • 11) 0,288 774 056 372 224 × 2 = 0 + 0,577 548 112 744 448;
  • 12) 0,577 548 112 744 448 × 2 = 1 + 0,155 096 225 488 896;
  • 13) 0,155 096 225 488 896 × 2 = 0 + 0,310 192 450 977 792;
  • 14) 0,310 192 450 977 792 × 2 = 0 + 0,620 384 901 955 584;
  • 15) 0,620 384 901 955 584 × 2 = 1 + 0,240 769 803 911 168;
  • 16) 0,240 769 803 911 168 × 2 = 0 + 0,481 539 607 822 336;
  • 17) 0,481 539 607 822 336 × 2 = 0 + 0,963 079 215 644 672;
  • 18) 0,963 079 215 644 672 × 2 = 1 + 0,926 158 431 289 344;
  • 19) 0,926 158 431 289 344 × 2 = 1 + 0,852 316 862 578 688;
  • 20) 0,852 316 862 578 688 × 2 = 1 + 0,704 633 725 157 376;
  • 21) 0,704 633 725 157 376 × 2 = 1 + 0,409 267 450 314 752;
  • 22) 0,409 267 450 314 752 × 2 = 0 + 0,818 534 900 629 504;
  • 23) 0,818 534 900 629 504 × 2 = 1 + 0,637 069 801 259 008;
  • 24) 0,637 069 801 259 008 × 2 = 1 + 0,274 139 602 518 016;
  • 25) 0,274 139 602 518 016 × 2 = 0 + 0,548 279 205 036 032;
  • 26) 0,548 279 205 036 032 × 2 = 1 + 0,096 558 410 072 064;
  • 27) 0,096 558 410 072 064 × 2 = 0 + 0,193 116 820 144 128;
  • 28) 0,193 116 820 144 128 × 2 = 0 + 0,386 233 640 288 256;
  • 29) 0,386 233 640 288 256 × 2 = 0 + 0,772 467 280 576 512;
  • 30) 0,772 467 280 576 512 × 2 = 1 + 0,544 934 561 153 024;
  • 31) 0,544 934 561 153 024 × 2 = 1 + 0,089 869 122 306 048;
  • 32) 0,089 869 122 306 048 × 2 = 0 + 0,179 738 244 612 096;
  • 33) 0,179 738 244 612 096 × 2 = 0 + 0,359 476 489 224 192;
  • 34) 0,359 476 489 224 192 × 2 = 0 + 0,718 952 978 448 384;
  • 35) 0,718 952 978 448 384 × 2 = 1 + 0,437 905 956 896 768;
  • 36) 0,437 905 956 896 768 × 2 = 0 + 0,875 811 913 793 536;
  • 37) 0,875 811 913 793 536 × 2 = 1 + 0,751 623 827 587 072;
  • 38) 0,751 623 827 587 072 × 2 = 1 + 0,503 247 655 174 144;
  • 39) 0,503 247 655 174 144 × 2 = 1 + 0,006 495 310 348 288;
  • 40) 0,006 495 310 348 288 × 2 = 0 + 0,012 990 620 696 576;
  • 41) 0,012 990 620 696 576 × 2 = 0 + 0,025 981 241 393 152;
  • 42) 0,025 981 241 393 152 × 2 = 0 + 0,051 962 482 786 304;
  • 43) 0,051 962 482 786 304 × 2 = 0 + 0,103 924 965 572 608;
  • 44) 0,103 924 965 572 608 × 2 = 0 + 0,207 849 931 145 216;
  • 45) 0,207 849 931 145 216 × 2 = 0 + 0,415 699 862 290 432;
  • 46) 0,415 699 862 290 432 × 2 = 0 + 0,831 399 724 580 864;
  • 47) 0,831 399 724 580 864 × 2 = 1 + 0,662 799 449 161 728;
  • 48) 0,662 799 449 161 728 × 2 = 1 + 0,325 598 898 323 456;
  • 49) 0,325 598 898 323 456 × 2 = 0 + 0,651 197 796 646 912;
  • 50) 0,651 197 796 646 912 × 2 = 1 + 0,302 395 593 293 824;
  • 51) 0,302 395 593 293 824 × 2 = 0 + 0,604 791 186 587 648;
  • 52) 0,604 791 186 587 648 × 2 = 1 + 0,209 582 373 175 296;
  • 53) 0,209 582 373 175 296 × 2 = 0 + 0,419 164 746 350 592;
  • 54) 0,419 164 746 350 592 × 2 = 0 + 0,838 329 492 701 184;
  • 55) 0,838 329 492 701 184 × 2 = 1 + 0,676 658 985 402 368;
  • 56) 0,676 658 985 402 368 × 2 = 1 + 0,353 317 970 804 736;
  • 57) 0,353 317 970 804 736 × 2 = 0 + 0,706 635 941 609 472;
  • 58) 0,706 635 941 609 472 × 2 = 1 + 0,413 271 883 218 944;
  • 59) 0,413 271 883 218 944 × 2 = 0 + 0,826 543 766 437 888;
  • 60) 0,826 543 766 437 888 × 2 = 1 + 0,653 087 532 875 776;
  • 61) 0,653 087 532 875 776 × 2 = 1 + 0,306 175 065 751 552;
  • 62) 0,306 175 065 751 552 × 2 = 0 + 0,612 350 131 503 104;
  • 63) 0,612 350 131 503 104 × 2 = 1 + 0,224 700 263 006 208;
  • 64) 0,224 700 263 006 208 × 2 = 0 + 0,449 400 526 012 416;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 426(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 0101 0011 0101 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 426(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 0101 0011 0101 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 426(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 0101 0011 0101 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 0101 0011 0101 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 0101 0011 0101 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 0101 0011 0101 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 0101 0011 0101 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 0101 0011 0101 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 0101 0011 0101 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 426 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0011 0101 0011 0101 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 428 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100