-0,000 282 005 914 366 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 366(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 366(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 366| = 0,000 282 005 914 366


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 366.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 366 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 732;
  • 2) 0,000 564 011 828 732 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 464;
  • 3) 0,001 128 023 657 464 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 928;
  • 4) 0,002 256 047 314 928 × 2 = 0 + 0,004 512 094 629 856;
  • 5) 0,004 512 094 629 856 × 2 = 0 + 0,009 024 189 259 712;
  • 6) 0,009 024 189 259 712 × 2 = 0 + 0,018 048 378 519 424;
  • 7) 0,018 048 378 519 424 × 2 = 0 + 0,036 096 757 038 848;
  • 8) 0,036 096 757 038 848 × 2 = 0 + 0,072 193 514 077 696;
  • 9) 0,072 193 514 077 696 × 2 = 0 + 0,144 387 028 155 392;
  • 10) 0,144 387 028 155 392 × 2 = 0 + 0,288 774 056 310 784;
  • 11) 0,288 774 056 310 784 × 2 = 0 + 0,577 548 112 621 568;
  • 12) 0,577 548 112 621 568 × 2 = 1 + 0,155 096 225 243 136;
  • 13) 0,155 096 225 243 136 × 2 = 0 + 0,310 192 450 486 272;
  • 14) 0,310 192 450 486 272 × 2 = 0 + 0,620 384 900 972 544;
  • 15) 0,620 384 900 972 544 × 2 = 1 + 0,240 769 801 945 088;
  • 16) 0,240 769 801 945 088 × 2 = 0 + 0,481 539 603 890 176;
  • 17) 0,481 539 603 890 176 × 2 = 0 + 0,963 079 207 780 352;
  • 18) 0,963 079 207 780 352 × 2 = 1 + 0,926 158 415 560 704;
  • 19) 0,926 158 415 560 704 × 2 = 1 + 0,852 316 831 121 408;
  • 20) 0,852 316 831 121 408 × 2 = 1 + 0,704 633 662 242 816;
  • 21) 0,704 633 662 242 816 × 2 = 1 + 0,409 267 324 485 632;
  • 22) 0,409 267 324 485 632 × 2 = 0 + 0,818 534 648 971 264;
  • 23) 0,818 534 648 971 264 × 2 = 1 + 0,637 069 297 942 528;
  • 24) 0,637 069 297 942 528 × 2 = 1 + 0,274 138 595 885 056;
  • 25) 0,274 138 595 885 056 × 2 = 0 + 0,548 277 191 770 112;
  • 26) 0,548 277 191 770 112 × 2 = 1 + 0,096 554 383 540 224;
  • 27) 0,096 554 383 540 224 × 2 = 0 + 0,193 108 767 080 448;
  • 28) 0,193 108 767 080 448 × 2 = 0 + 0,386 217 534 160 896;
  • 29) 0,386 217 534 160 896 × 2 = 0 + 0,772 435 068 321 792;
  • 30) 0,772 435 068 321 792 × 2 = 1 + 0,544 870 136 643 584;
  • 31) 0,544 870 136 643 584 × 2 = 1 + 0,089 740 273 287 168;
  • 32) 0,089 740 273 287 168 × 2 = 0 + 0,179 480 546 574 336;
  • 33) 0,179 480 546 574 336 × 2 = 0 + 0,358 961 093 148 672;
  • 34) 0,358 961 093 148 672 × 2 = 0 + 0,717 922 186 297 344;
  • 35) 0,717 922 186 297 344 × 2 = 1 + 0,435 844 372 594 688;
  • 36) 0,435 844 372 594 688 × 2 = 0 + 0,871 688 745 189 376;
  • 37) 0,871 688 745 189 376 × 2 = 1 + 0,743 377 490 378 752;
  • 38) 0,743 377 490 378 752 × 2 = 1 + 0,486 754 980 757 504;
  • 39) 0,486 754 980 757 504 × 2 = 0 + 0,973 509 961 515 008;
  • 40) 0,973 509 961 515 008 × 2 = 1 + 0,947 019 923 030 016;
  • 41) 0,947 019 923 030 016 × 2 = 1 + 0,894 039 846 060 032;
  • 42) 0,894 039 846 060 032 × 2 = 1 + 0,788 079 692 120 064;
  • 43) 0,788 079 692 120 064 × 2 = 1 + 0,576 159 384 240 128;
  • 44) 0,576 159 384 240 128 × 2 = 1 + 0,152 318 768 480 256;
  • 45) 0,152 318 768 480 256 × 2 = 0 + 0,304 637 536 960 512;
  • 46) 0,304 637 536 960 512 × 2 = 0 + 0,609 275 073 921 024;
  • 47) 0,609 275 073 921 024 × 2 = 1 + 0,218 550 147 842 048;
  • 48) 0,218 550 147 842 048 × 2 = 0 + 0,437 100 295 684 096;
  • 49) 0,437 100 295 684 096 × 2 = 0 + 0,874 200 591 368 192;
  • 50) 0,874 200 591 368 192 × 2 = 1 + 0,748 401 182 736 384;
  • 51) 0,748 401 182 736 384 × 2 = 1 + 0,496 802 365 472 768;
  • 52) 0,496 802 365 472 768 × 2 = 0 + 0,993 604 730 945 536;
  • 53) 0,993 604 730 945 536 × 2 = 1 + 0,987 209 461 891 072;
  • 54) 0,987 209 461 891 072 × 2 = 1 + 0,974 418 923 782 144;
  • 55) 0,974 418 923 782 144 × 2 = 1 + 0,948 837 847 564 288;
  • 56) 0,948 837 847 564 288 × 2 = 1 + 0,897 675 695 128 576;
  • 57) 0,897 675 695 128 576 × 2 = 1 + 0,795 351 390 257 152;
  • 58) 0,795 351 390 257 152 × 2 = 1 + 0,590 702 780 514 304;
  • 59) 0,590 702 780 514 304 × 2 = 1 + 0,181 405 561 028 608;
  • 60) 0,181 405 561 028 608 × 2 = 0 + 0,362 811 122 057 216;
  • 61) 0,362 811 122 057 216 × 2 = 0 + 0,725 622 244 114 432;
  • 62) 0,725 622 244 114 432 × 2 = 1 + 0,451 244 488 228 864;
  • 63) 0,451 244 488 228 864 × 2 = 0 + 0,902 488 976 457 728;
  • 64) 0,902 488 976 457 728 × 2 = 1 + 0,804 977 952 915 456;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 366(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0110 1111 1110 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 366(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0110 1111 1110 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 366(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0110 1111 1110 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0110 1111 1110 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0110 1111 1110 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0110 1111 1110 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0110 1111 1110 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0110 1111 1110 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0110 1111 1110 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 366 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 0010 0110 1111 1110 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 459 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100