-0,000 282 005 914 459 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 459(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 459(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 459| = 0,000 282 005 914 459


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 459.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 459 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 918;
  • 2) 0,000 564 011 828 918 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 836;
  • 3) 0,001 128 023 657 836 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 672;
  • 4) 0,002 256 047 315 672 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 344;
  • 5) 0,004 512 094 631 344 × 2 = 0 + 0,009 024 189 262 688;
  • 6) 0,009 024 189 262 688 × 2 = 0 + 0,018 048 378 525 376;
  • 7) 0,018 048 378 525 376 × 2 = 0 + 0,036 096 757 050 752;
  • 8) 0,036 096 757 050 752 × 2 = 0 + 0,072 193 514 101 504;
  • 9) 0,072 193 514 101 504 × 2 = 0 + 0,144 387 028 203 008;
  • 10) 0,144 387 028 203 008 × 2 = 0 + 0,288 774 056 406 016;
  • 11) 0,288 774 056 406 016 × 2 = 0 + 0,577 548 112 812 032;
  • 12) 0,577 548 112 812 032 × 2 = 1 + 0,155 096 225 624 064;
  • 13) 0,155 096 225 624 064 × 2 = 0 + 0,310 192 451 248 128;
  • 14) 0,310 192 451 248 128 × 2 = 0 + 0,620 384 902 496 256;
  • 15) 0,620 384 902 496 256 × 2 = 1 + 0,240 769 804 992 512;
  • 16) 0,240 769 804 992 512 × 2 = 0 + 0,481 539 609 985 024;
  • 17) 0,481 539 609 985 024 × 2 = 0 + 0,963 079 219 970 048;
  • 18) 0,963 079 219 970 048 × 2 = 1 + 0,926 158 439 940 096;
  • 19) 0,926 158 439 940 096 × 2 = 1 + 0,852 316 879 880 192;
  • 20) 0,852 316 879 880 192 × 2 = 1 + 0,704 633 759 760 384;
  • 21) 0,704 633 759 760 384 × 2 = 1 + 0,409 267 519 520 768;
  • 22) 0,409 267 519 520 768 × 2 = 0 + 0,818 535 039 041 536;
  • 23) 0,818 535 039 041 536 × 2 = 1 + 0,637 070 078 083 072;
  • 24) 0,637 070 078 083 072 × 2 = 1 + 0,274 140 156 166 144;
  • 25) 0,274 140 156 166 144 × 2 = 0 + 0,548 280 312 332 288;
  • 26) 0,548 280 312 332 288 × 2 = 1 + 0,096 560 624 664 576;
  • 27) 0,096 560 624 664 576 × 2 = 0 + 0,193 121 249 329 152;
  • 28) 0,193 121 249 329 152 × 2 = 0 + 0,386 242 498 658 304;
  • 29) 0,386 242 498 658 304 × 2 = 0 + 0,772 484 997 316 608;
  • 30) 0,772 484 997 316 608 × 2 = 1 + 0,544 969 994 633 216;
  • 31) 0,544 969 994 633 216 × 2 = 1 + 0,089 939 989 266 432;
  • 32) 0,089 939 989 266 432 × 2 = 0 + 0,179 879 978 532 864;
  • 33) 0,179 879 978 532 864 × 2 = 0 + 0,359 759 957 065 728;
  • 34) 0,359 759 957 065 728 × 2 = 0 + 0,719 519 914 131 456;
  • 35) 0,719 519 914 131 456 × 2 = 1 + 0,439 039 828 262 912;
  • 36) 0,439 039 828 262 912 × 2 = 0 + 0,878 079 656 525 824;
  • 37) 0,878 079 656 525 824 × 2 = 1 + 0,756 159 313 051 648;
  • 38) 0,756 159 313 051 648 × 2 = 1 + 0,512 318 626 103 296;
  • 39) 0,512 318 626 103 296 × 2 = 1 + 0,024 637 252 206 592;
  • 40) 0,024 637 252 206 592 × 2 = 0 + 0,049 274 504 413 184;
  • 41) 0,049 274 504 413 184 × 2 = 0 + 0,098 549 008 826 368;
  • 42) 0,098 549 008 826 368 × 2 = 0 + 0,197 098 017 652 736;
  • 43) 0,197 098 017 652 736 × 2 = 0 + 0,394 196 035 305 472;
  • 44) 0,394 196 035 305 472 × 2 = 0 + 0,788 392 070 610 944;
  • 45) 0,788 392 070 610 944 × 2 = 1 + 0,576 784 141 221 888;
  • 46) 0,576 784 141 221 888 × 2 = 1 + 0,153 568 282 443 776;
  • 47) 0,153 568 282 443 776 × 2 = 0 + 0,307 136 564 887 552;
  • 48) 0,307 136 564 887 552 × 2 = 0 + 0,614 273 129 775 104;
  • 49) 0,614 273 129 775 104 × 2 = 1 + 0,228 546 259 550 208;
  • 50) 0,228 546 259 550 208 × 2 = 0 + 0,457 092 519 100 416;
  • 51) 0,457 092 519 100 416 × 2 = 0 + 0,914 185 038 200 832;
  • 52) 0,914 185 038 200 832 × 2 = 1 + 0,828 370 076 401 664;
  • 53) 0,828 370 076 401 664 × 2 = 1 + 0,656 740 152 803 328;
  • 54) 0,656 740 152 803 328 × 2 = 1 + 0,313 480 305 606 656;
  • 55) 0,313 480 305 606 656 × 2 = 0 + 0,626 960 611 213 312;
  • 56) 0,626 960 611 213 312 × 2 = 1 + 0,253 921 222 426 624;
  • 57) 0,253 921 222 426 624 × 2 = 0 + 0,507 842 444 853 248;
  • 58) 0,507 842 444 853 248 × 2 = 1 + 0,015 684 889 706 496;
  • 59) 0,015 684 889 706 496 × 2 = 0 + 0,031 369 779 412 992;
  • 60) 0,031 369 779 412 992 × 2 = 0 + 0,062 739 558 825 984;
  • 61) 0,062 739 558 825 984 × 2 = 0 + 0,125 479 117 651 968;
  • 62) 0,125 479 117 651 968 × 2 = 0 + 0,250 958 235 303 936;
  • 63) 0,250 958 235 303 936 × 2 = 0 + 0,501 916 470 607 872;
  • 64) 0,501 916 470 607 872 × 2 = 1 + 0,003 832 941 215 744;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 459(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1100 1001 1101 0100 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 459(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1100 1001 1101 0100 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 459(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1100 1001 1101 0100 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1100 1001 1101 0100 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1100 1001 1101 0100 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1100 1001 1101 0100 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1100 1001 1101 0100 0001 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1100 1001 1101 0100 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1100 1001 1101 0100 0001


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 459 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1100 1001 1101 0100 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 557 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100