-0,000 282 005 914 389 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 389(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 389(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 389| = 0,000 282 005 914 389


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 389.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 389 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 778;
  • 2) 0,000 564 011 828 778 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 556;
  • 3) 0,001 128 023 657 556 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 112;
  • 4) 0,002 256 047 315 112 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 224;
  • 5) 0,004 512 094 630 224 × 2 = 0 + 0,009 024 189 260 448;
  • 6) 0,009 024 189 260 448 × 2 = 0 + 0,018 048 378 520 896;
  • 7) 0,018 048 378 520 896 × 2 = 0 + 0,036 096 757 041 792;
  • 8) 0,036 096 757 041 792 × 2 = 0 + 0,072 193 514 083 584;
  • 9) 0,072 193 514 083 584 × 2 = 0 + 0,144 387 028 167 168;
  • 10) 0,144 387 028 167 168 × 2 = 0 + 0,288 774 056 334 336;
  • 11) 0,288 774 056 334 336 × 2 = 0 + 0,577 548 112 668 672;
  • 12) 0,577 548 112 668 672 × 2 = 1 + 0,155 096 225 337 344;
  • 13) 0,155 096 225 337 344 × 2 = 0 + 0,310 192 450 674 688;
  • 14) 0,310 192 450 674 688 × 2 = 0 + 0,620 384 901 349 376;
  • 15) 0,620 384 901 349 376 × 2 = 1 + 0,240 769 802 698 752;
  • 16) 0,240 769 802 698 752 × 2 = 0 + 0,481 539 605 397 504;
  • 17) 0,481 539 605 397 504 × 2 = 0 + 0,963 079 210 795 008;
  • 18) 0,963 079 210 795 008 × 2 = 1 + 0,926 158 421 590 016;
  • 19) 0,926 158 421 590 016 × 2 = 1 + 0,852 316 843 180 032;
  • 20) 0,852 316 843 180 032 × 2 = 1 + 0,704 633 686 360 064;
  • 21) 0,704 633 686 360 064 × 2 = 1 + 0,409 267 372 720 128;
  • 22) 0,409 267 372 720 128 × 2 = 0 + 0,818 534 745 440 256;
  • 23) 0,818 534 745 440 256 × 2 = 1 + 0,637 069 490 880 512;
  • 24) 0,637 069 490 880 512 × 2 = 1 + 0,274 138 981 761 024;
  • 25) 0,274 138 981 761 024 × 2 = 0 + 0,548 277 963 522 048;
  • 26) 0,548 277 963 522 048 × 2 = 1 + 0,096 555 927 044 096;
  • 27) 0,096 555 927 044 096 × 2 = 0 + 0,193 111 854 088 192;
  • 28) 0,193 111 854 088 192 × 2 = 0 + 0,386 223 708 176 384;
  • 29) 0,386 223 708 176 384 × 2 = 0 + 0,772 447 416 352 768;
  • 30) 0,772 447 416 352 768 × 2 = 1 + 0,544 894 832 705 536;
  • 31) 0,544 894 832 705 536 × 2 = 1 + 0,089 789 665 411 072;
  • 32) 0,089 789 665 411 072 × 2 = 0 + 0,179 579 330 822 144;
  • 33) 0,179 579 330 822 144 × 2 = 0 + 0,359 158 661 644 288;
  • 34) 0,359 158 661 644 288 × 2 = 0 + 0,718 317 323 288 576;
  • 35) 0,718 317 323 288 576 × 2 = 1 + 0,436 634 646 577 152;
  • 36) 0,436 634 646 577 152 × 2 = 0 + 0,873 269 293 154 304;
  • 37) 0,873 269 293 154 304 × 2 = 1 + 0,746 538 586 308 608;
  • 38) 0,746 538 586 308 608 × 2 = 1 + 0,493 077 172 617 216;
  • 39) 0,493 077 172 617 216 × 2 = 0 + 0,986 154 345 234 432;
  • 40) 0,986 154 345 234 432 × 2 = 1 + 0,972 308 690 468 864;
  • 41) 0,972 308 690 468 864 × 2 = 1 + 0,944 617 380 937 728;
  • 42) 0,944 617 380 937 728 × 2 = 1 + 0,889 234 761 875 456;
  • 43) 0,889 234 761 875 456 × 2 = 1 + 0,778 469 523 750 912;
  • 44) 0,778 469 523 750 912 × 2 = 1 + 0,556 939 047 501 824;
  • 45) 0,556 939 047 501 824 × 2 = 1 + 0,113 878 095 003 648;
  • 46) 0,113 878 095 003 648 × 2 = 0 + 0,227 756 190 007 296;
  • 47) 0,227 756 190 007 296 × 2 = 0 + 0,455 512 380 014 592;
  • 48) 0,455 512 380 014 592 × 2 = 0 + 0,911 024 760 029 184;
  • 49) 0,911 024 760 029 184 × 2 = 1 + 0,822 049 520 058 368;
  • 50) 0,822 049 520 058 368 × 2 = 1 + 0,644 099 040 116 736;
  • 51) 0,644 099 040 116 736 × 2 = 1 + 0,288 198 080 233 472;
  • 52) 0,288 198 080 233 472 × 2 = 0 + 0,576 396 160 466 944;
  • 53) 0,576 396 160 466 944 × 2 = 1 + 0,152 792 320 933 888;
  • 54) 0,152 792 320 933 888 × 2 = 0 + 0,305 584 641 867 776;
  • 55) 0,305 584 641 867 776 × 2 = 0 + 0,611 169 283 735 552;
  • 56) 0,611 169 283 735 552 × 2 = 1 + 0,222 338 567 471 104;
  • 57) 0,222 338 567 471 104 × 2 = 0 + 0,444 677 134 942 208;
  • 58) 0,444 677 134 942 208 × 2 = 0 + 0,889 354 269 884 416;
  • 59) 0,889 354 269 884 416 × 2 = 1 + 0,778 708 539 768 832;
  • 60) 0,778 708 539 768 832 × 2 = 1 + 0,557 417 079 537 664;
  • 61) 0,557 417 079 537 664 × 2 = 1 + 0,114 834 159 075 328;
  • 62) 0,114 834 159 075 328 × 2 = 0 + 0,229 668 318 150 656;
  • 63) 0,229 668 318 150 656 × 2 = 0 + 0,459 336 636 301 312;
  • 64) 0,459 336 636 301 312 × 2 = 0 + 0,918 673 272 602 624;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 389(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1000 1110 1001 0011 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 389(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1000 1110 1001 0011 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 389(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1000 1110 1001 0011 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1000 1110 1001 0011 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1000 1110 1001 0011 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1000 1110 1001 0011 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1000 1110 1001 0011 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1000 1110 1001 0011 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1000 1110 1001 0011 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 389 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1000 1110 1001 0011 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 426 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100