-0,000 282 005 914 39 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 39(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 39(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 39| = 0,000 282 005 914 39


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 39.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 39 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 78;
  • 2) 0,000 564 011 828 78 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 56;
  • 3) 0,001 128 023 657 56 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 12;
  • 4) 0,002 256 047 315 12 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 24;
  • 5) 0,004 512 094 630 24 × 2 = 0 + 0,009 024 189 260 48;
  • 6) 0,009 024 189 260 48 × 2 = 0 + 0,018 048 378 520 96;
  • 7) 0,018 048 378 520 96 × 2 = 0 + 0,036 096 757 041 92;
  • 8) 0,036 096 757 041 92 × 2 = 0 + 0,072 193 514 083 84;
  • 9) 0,072 193 514 083 84 × 2 = 0 + 0,144 387 028 167 68;
  • 10) 0,144 387 028 167 68 × 2 = 0 + 0,288 774 056 335 36;
  • 11) 0,288 774 056 335 36 × 2 = 0 + 0,577 548 112 670 72;
  • 12) 0,577 548 112 670 72 × 2 = 1 + 0,155 096 225 341 44;
  • 13) 0,155 096 225 341 44 × 2 = 0 + 0,310 192 450 682 88;
  • 14) 0,310 192 450 682 88 × 2 = 0 + 0,620 384 901 365 76;
  • 15) 0,620 384 901 365 76 × 2 = 1 + 0,240 769 802 731 52;
  • 16) 0,240 769 802 731 52 × 2 = 0 + 0,481 539 605 463 04;
  • 17) 0,481 539 605 463 04 × 2 = 0 + 0,963 079 210 926 08;
  • 18) 0,963 079 210 926 08 × 2 = 1 + 0,926 158 421 852 16;
  • 19) 0,926 158 421 852 16 × 2 = 1 + 0,852 316 843 704 32;
  • 20) 0,852 316 843 704 32 × 2 = 1 + 0,704 633 687 408 64;
  • 21) 0,704 633 687 408 64 × 2 = 1 + 0,409 267 374 817 28;
  • 22) 0,409 267 374 817 28 × 2 = 0 + 0,818 534 749 634 56;
  • 23) 0,818 534 749 634 56 × 2 = 1 + 0,637 069 499 269 12;
  • 24) 0,637 069 499 269 12 × 2 = 1 + 0,274 138 998 538 24;
  • 25) 0,274 138 998 538 24 × 2 = 0 + 0,548 277 997 076 48;
  • 26) 0,548 277 997 076 48 × 2 = 1 + 0,096 555 994 152 96;
  • 27) 0,096 555 994 152 96 × 2 = 0 + 0,193 111 988 305 92;
  • 28) 0,193 111 988 305 92 × 2 = 0 + 0,386 223 976 611 84;
  • 29) 0,386 223 976 611 84 × 2 = 0 + 0,772 447 953 223 68;
  • 30) 0,772 447 953 223 68 × 2 = 1 + 0,544 895 906 447 36;
  • 31) 0,544 895 906 447 36 × 2 = 1 + 0,089 791 812 894 72;
  • 32) 0,089 791 812 894 72 × 2 = 0 + 0,179 583 625 789 44;
  • 33) 0,179 583 625 789 44 × 2 = 0 + 0,359 167 251 578 88;
  • 34) 0,359 167 251 578 88 × 2 = 0 + 0,718 334 503 157 76;
  • 35) 0,718 334 503 157 76 × 2 = 1 + 0,436 669 006 315 52;
  • 36) 0,436 669 006 315 52 × 2 = 0 + 0,873 338 012 631 04;
  • 37) 0,873 338 012 631 04 × 2 = 1 + 0,746 676 025 262 08;
  • 38) 0,746 676 025 262 08 × 2 = 1 + 0,493 352 050 524 16;
  • 39) 0,493 352 050 524 16 × 2 = 0 + 0,986 704 101 048 32;
  • 40) 0,986 704 101 048 32 × 2 = 1 + 0,973 408 202 096 64;
  • 41) 0,973 408 202 096 64 × 2 = 1 + 0,946 816 404 193 28;
  • 42) 0,946 816 404 193 28 × 2 = 1 + 0,893 632 808 386 56;
  • 43) 0,893 632 808 386 56 × 2 = 1 + 0,787 265 616 773 12;
  • 44) 0,787 265 616 773 12 × 2 = 1 + 0,574 531 233 546 24;
  • 45) 0,574 531 233 546 24 × 2 = 1 + 0,149 062 467 092 48;
  • 46) 0,149 062 467 092 48 × 2 = 0 + 0,298 124 934 184 96;
  • 47) 0,298 124 934 184 96 × 2 = 0 + 0,596 249 868 369 92;
  • 48) 0,596 249 868 369 92 × 2 = 1 + 0,192 499 736 739 84;
  • 49) 0,192 499 736 739 84 × 2 = 0 + 0,384 999 473 479 68;
  • 50) 0,384 999 473 479 68 × 2 = 0 + 0,769 998 946 959 36;
  • 51) 0,769 998 946 959 36 × 2 = 1 + 0,539 997 893 918 72;
  • 52) 0,539 997 893 918 72 × 2 = 1 + 0,079 995 787 837 44;
  • 53) 0,079 995 787 837 44 × 2 = 0 + 0,159 991 575 674 88;
  • 54) 0,159 991 575 674 88 × 2 = 0 + 0,319 983 151 349 76;
  • 55) 0,319 983 151 349 76 × 2 = 0 + 0,639 966 302 699 52;
  • 56) 0,639 966 302 699 52 × 2 = 1 + 0,279 932 605 399 04;
  • 57) 0,279 932 605 399 04 × 2 = 0 + 0,559 865 210 798 08;
  • 58) 0,559 865 210 798 08 × 2 = 1 + 0,119 730 421 596 16;
  • 59) 0,119 730 421 596 16 × 2 = 0 + 0,239 460 843 192 32;
  • 60) 0,239 460 843 192 32 × 2 = 0 + 0,478 921 686 384 64;
  • 61) 0,478 921 686 384 64 × 2 = 0 + 0,957 843 372 769 28;
  • 62) 0,957 843 372 769 28 × 2 = 1 + 0,915 686 745 538 56;
  • 63) 0,915 686 745 538 56 × 2 = 1 + 0,831 373 491 077 12;
  • 64) 0,831 373 491 077 12 × 2 = 1 + 0,662 746 982 154 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 39(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1001 0011 0001 0100 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 39(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1001 0011 0001 0100 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 39(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1001 0011 0001 0100 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1001 0011 0001 0100 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1001 0011 0001 0100 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1001 0011 0001 0100 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1001 0011 0001 0100 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1001 0011 0001 0100 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1001 0011 0001 0100 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 39 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1001 0011 0001 0100 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 27 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100