-0,000 282 005 914 409 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 409(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 409(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 409| = 0,000 282 005 914 409


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 409.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 409 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 818;
  • 2) 0,000 564 011 828 818 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 636;
  • 3) 0,001 128 023 657 636 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 272;
  • 4) 0,002 256 047 315 272 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 544;
  • 5) 0,004 512 094 630 544 × 2 = 0 + 0,009 024 189 261 088;
  • 6) 0,009 024 189 261 088 × 2 = 0 + 0,018 048 378 522 176;
  • 7) 0,018 048 378 522 176 × 2 = 0 + 0,036 096 757 044 352;
  • 8) 0,036 096 757 044 352 × 2 = 0 + 0,072 193 514 088 704;
  • 9) 0,072 193 514 088 704 × 2 = 0 + 0,144 387 028 177 408;
  • 10) 0,144 387 028 177 408 × 2 = 0 + 0,288 774 056 354 816;
  • 11) 0,288 774 056 354 816 × 2 = 0 + 0,577 548 112 709 632;
  • 12) 0,577 548 112 709 632 × 2 = 1 + 0,155 096 225 419 264;
  • 13) 0,155 096 225 419 264 × 2 = 0 + 0,310 192 450 838 528;
  • 14) 0,310 192 450 838 528 × 2 = 0 + 0,620 384 901 677 056;
  • 15) 0,620 384 901 677 056 × 2 = 1 + 0,240 769 803 354 112;
  • 16) 0,240 769 803 354 112 × 2 = 0 + 0,481 539 606 708 224;
  • 17) 0,481 539 606 708 224 × 2 = 0 + 0,963 079 213 416 448;
  • 18) 0,963 079 213 416 448 × 2 = 1 + 0,926 158 426 832 896;
  • 19) 0,926 158 426 832 896 × 2 = 1 + 0,852 316 853 665 792;
  • 20) 0,852 316 853 665 792 × 2 = 1 + 0,704 633 707 331 584;
  • 21) 0,704 633 707 331 584 × 2 = 1 + 0,409 267 414 663 168;
  • 22) 0,409 267 414 663 168 × 2 = 0 + 0,818 534 829 326 336;
  • 23) 0,818 534 829 326 336 × 2 = 1 + 0,637 069 658 652 672;
  • 24) 0,637 069 658 652 672 × 2 = 1 + 0,274 139 317 305 344;
  • 25) 0,274 139 317 305 344 × 2 = 0 + 0,548 278 634 610 688;
  • 26) 0,548 278 634 610 688 × 2 = 1 + 0,096 557 269 221 376;
  • 27) 0,096 557 269 221 376 × 2 = 0 + 0,193 114 538 442 752;
  • 28) 0,193 114 538 442 752 × 2 = 0 + 0,386 229 076 885 504;
  • 29) 0,386 229 076 885 504 × 2 = 0 + 0,772 458 153 771 008;
  • 30) 0,772 458 153 771 008 × 2 = 1 + 0,544 916 307 542 016;
  • 31) 0,544 916 307 542 016 × 2 = 1 + 0,089 832 615 084 032;
  • 32) 0,089 832 615 084 032 × 2 = 0 + 0,179 665 230 168 064;
  • 33) 0,179 665 230 168 064 × 2 = 0 + 0,359 330 460 336 128;
  • 34) 0,359 330 460 336 128 × 2 = 0 + 0,718 660 920 672 256;
  • 35) 0,718 660 920 672 256 × 2 = 1 + 0,437 321 841 344 512;
  • 36) 0,437 321 841 344 512 × 2 = 0 + 0,874 643 682 689 024;
  • 37) 0,874 643 682 689 024 × 2 = 1 + 0,749 287 365 378 048;
  • 38) 0,749 287 365 378 048 × 2 = 1 + 0,498 574 730 756 096;
  • 39) 0,498 574 730 756 096 × 2 = 0 + 0,997 149 461 512 192;
  • 40) 0,997 149 461 512 192 × 2 = 1 + 0,994 298 923 024 384;
  • 41) 0,994 298 923 024 384 × 2 = 1 + 0,988 597 846 048 768;
  • 42) 0,988 597 846 048 768 × 2 = 1 + 0,977 195 692 097 536;
  • 43) 0,977 195 692 097 536 × 2 = 1 + 0,954 391 384 195 072;
  • 44) 0,954 391 384 195 072 × 2 = 1 + 0,908 782 768 390 144;
  • 45) 0,908 782 768 390 144 × 2 = 1 + 0,817 565 536 780 288;
  • 46) 0,817 565 536 780 288 × 2 = 1 + 0,635 131 073 560 576;
  • 47) 0,635 131 073 560 576 × 2 = 1 + 0,270 262 147 121 152;
  • 48) 0,270 262 147 121 152 × 2 = 0 + 0,540 524 294 242 304;
  • 49) 0,540 524 294 242 304 × 2 = 1 + 0,081 048 588 484 608;
  • 50) 0,081 048 588 484 608 × 2 = 0 + 0,162 097 176 969 216;
  • 51) 0,162 097 176 969 216 × 2 = 0 + 0,324 194 353 938 432;
  • 52) 0,324 194 353 938 432 × 2 = 0 + 0,648 388 707 876 864;
  • 53) 0,648 388 707 876 864 × 2 = 1 + 0,296 777 415 753 728;
  • 54) 0,296 777 415 753 728 × 2 = 0 + 0,593 554 831 507 456;
  • 55) 0,593 554 831 507 456 × 2 = 1 + 0,187 109 663 014 912;
  • 56) 0,187 109 663 014 912 × 2 = 0 + 0,374 219 326 029 824;
  • 57) 0,374 219 326 029 824 × 2 = 0 + 0,748 438 652 059 648;
  • 58) 0,748 438 652 059 648 × 2 = 1 + 0,496 877 304 119 296;
  • 59) 0,496 877 304 119 296 × 2 = 0 + 0,993 754 608 238 592;
  • 60) 0,993 754 608 238 592 × 2 = 1 + 0,987 509 216 477 184;
  • 61) 0,987 509 216 477 184 × 2 = 1 + 0,975 018 432 954 368;
  • 62) 0,975 018 432 954 368 × 2 = 1 + 0,950 036 865 908 736;
  • 63) 0,950 036 865 908 736 × 2 = 1 + 0,900 073 731 817 472;
  • 64) 0,900 073 731 817 472 × 2 = 1 + 0,800 147 463 634 944;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 409(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 1000 1010 0101 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 409(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 1000 1010 0101 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 409(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 1000 1010 0101 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 1000 1010 0101 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 1000 1010 0101 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 1000 1010 0101 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 1000 1010 0101 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 1000 1010 0101 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 1000 1010 0101 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 409 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1110 1000 1010 0101 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 481 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100