-0,000 282 005 914 412 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 412(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 412(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 412| = 0,000 282 005 914 412


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 412.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 412 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 824;
  • 2) 0,000 564 011 828 824 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 648;
  • 3) 0,001 128 023 657 648 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 296;
  • 4) 0,002 256 047 315 296 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 592;
  • 5) 0,004 512 094 630 592 × 2 = 0 + 0,009 024 189 261 184;
  • 6) 0,009 024 189 261 184 × 2 = 0 + 0,018 048 378 522 368;
  • 7) 0,018 048 378 522 368 × 2 = 0 + 0,036 096 757 044 736;
  • 8) 0,036 096 757 044 736 × 2 = 0 + 0,072 193 514 089 472;
  • 9) 0,072 193 514 089 472 × 2 = 0 + 0,144 387 028 178 944;
  • 10) 0,144 387 028 178 944 × 2 = 0 + 0,288 774 056 357 888;
  • 11) 0,288 774 056 357 888 × 2 = 0 + 0,577 548 112 715 776;
  • 12) 0,577 548 112 715 776 × 2 = 1 + 0,155 096 225 431 552;
  • 13) 0,155 096 225 431 552 × 2 = 0 + 0,310 192 450 863 104;
  • 14) 0,310 192 450 863 104 × 2 = 0 + 0,620 384 901 726 208;
  • 15) 0,620 384 901 726 208 × 2 = 1 + 0,240 769 803 452 416;
  • 16) 0,240 769 803 452 416 × 2 = 0 + 0,481 539 606 904 832;
  • 17) 0,481 539 606 904 832 × 2 = 0 + 0,963 079 213 809 664;
  • 18) 0,963 079 213 809 664 × 2 = 1 + 0,926 158 427 619 328;
  • 19) 0,926 158 427 619 328 × 2 = 1 + 0,852 316 855 238 656;
  • 20) 0,852 316 855 238 656 × 2 = 1 + 0,704 633 710 477 312;
  • 21) 0,704 633 710 477 312 × 2 = 1 + 0,409 267 420 954 624;
  • 22) 0,409 267 420 954 624 × 2 = 0 + 0,818 534 841 909 248;
  • 23) 0,818 534 841 909 248 × 2 = 1 + 0,637 069 683 818 496;
  • 24) 0,637 069 683 818 496 × 2 = 1 + 0,274 139 367 636 992;
  • 25) 0,274 139 367 636 992 × 2 = 0 + 0,548 278 735 273 984;
  • 26) 0,548 278 735 273 984 × 2 = 1 + 0,096 557 470 547 968;
  • 27) 0,096 557 470 547 968 × 2 = 0 + 0,193 114 941 095 936;
  • 28) 0,193 114 941 095 936 × 2 = 0 + 0,386 229 882 191 872;
  • 29) 0,386 229 882 191 872 × 2 = 0 + 0,772 459 764 383 744;
  • 30) 0,772 459 764 383 744 × 2 = 1 + 0,544 919 528 767 488;
  • 31) 0,544 919 528 767 488 × 2 = 1 + 0,089 839 057 534 976;
  • 32) 0,089 839 057 534 976 × 2 = 0 + 0,179 678 115 069 952;
  • 33) 0,179 678 115 069 952 × 2 = 0 + 0,359 356 230 139 904;
  • 34) 0,359 356 230 139 904 × 2 = 0 + 0,718 712 460 279 808;
  • 35) 0,718 712 460 279 808 × 2 = 1 + 0,437 424 920 559 616;
  • 36) 0,437 424 920 559 616 × 2 = 0 + 0,874 849 841 119 232;
  • 37) 0,874 849 841 119 232 × 2 = 1 + 0,749 699 682 238 464;
  • 38) 0,749 699 682 238 464 × 2 = 1 + 0,499 399 364 476 928;
  • 39) 0,499 399 364 476 928 × 2 = 0 + 0,998 798 728 953 856;
  • 40) 0,998 798 728 953 856 × 2 = 1 + 0,997 597 457 907 712;
  • 41) 0,997 597 457 907 712 × 2 = 1 + 0,995 194 915 815 424;
  • 42) 0,995 194 915 815 424 × 2 = 1 + 0,990 389 831 630 848;
  • 43) 0,990 389 831 630 848 × 2 = 1 + 0,980 779 663 261 696;
  • 44) 0,980 779 663 261 696 × 2 = 1 + 0,961 559 326 523 392;
  • 45) 0,961 559 326 523 392 × 2 = 1 + 0,923 118 653 046 784;
  • 46) 0,923 118 653 046 784 × 2 = 1 + 0,846 237 306 093 568;
  • 47) 0,846 237 306 093 568 × 2 = 1 + 0,692 474 612 187 136;
  • 48) 0,692 474 612 187 136 × 2 = 1 + 0,384 949 224 374 272;
  • 49) 0,384 949 224 374 272 × 2 = 0 + 0,769 898 448 748 544;
  • 50) 0,769 898 448 748 544 × 2 = 1 + 0,539 796 897 497 088;
  • 51) 0,539 796 897 497 088 × 2 = 1 + 0,079 593 794 994 176;
  • 52) 0,079 593 794 994 176 × 2 = 0 + 0,159 187 589 988 352;
  • 53) 0,159 187 589 988 352 × 2 = 0 + 0,318 375 179 976 704;
  • 54) 0,318 375 179 976 704 × 2 = 0 + 0,636 750 359 953 408;
  • 55) 0,636 750 359 953 408 × 2 = 1 + 0,273 500 719 906 816;
  • 56) 0,273 500 719 906 816 × 2 = 0 + 0,547 001 439 813 632;
  • 57) 0,547 001 439 813 632 × 2 = 1 + 0,094 002 879 627 264;
  • 58) 0,094 002 879 627 264 × 2 = 0 + 0,188 005 759 254 528;
  • 59) 0,188 005 759 254 528 × 2 = 0 + 0,376 011 518 509 056;
  • 60) 0,376 011 518 509 056 × 2 = 0 + 0,752 023 037 018 112;
  • 61) 0,752 023 037 018 112 × 2 = 1 + 0,504 046 074 036 224;
  • 62) 0,504 046 074 036 224 × 2 = 1 + 0,008 092 148 072 448;
  • 63) 0,008 092 148 072 448 × 2 = 0 + 0,016 184 296 144 896;
  • 64) 0,016 184 296 144 896 × 2 = 0 + 0,032 368 592 289 792;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 412(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1111 0110 0010 1000 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 412(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1111 0110 0010 1000 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 412(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1111 0110 0010 1000 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1111 0110 0010 1000 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1111 0110 0010 1000 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1111 0110 0010 1000 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1111 0110 0010 1000 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1111 0110 0010 1000 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1111 0110 0010 1000 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 412 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1111 0110 0010 1000 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 464 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100