-0,000 282 005 914 464 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 464(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 464(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 464| = 0,000 282 005 914 464


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 464.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 464 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 928;
  • 2) 0,000 564 011 828 928 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 856;
  • 3) 0,001 128 023 657 856 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 712;
  • 4) 0,002 256 047 315 712 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 424;
  • 5) 0,004 512 094 631 424 × 2 = 0 + 0,009 024 189 262 848;
  • 6) 0,009 024 189 262 848 × 2 = 0 + 0,018 048 378 525 696;
  • 7) 0,018 048 378 525 696 × 2 = 0 + 0,036 096 757 051 392;
  • 8) 0,036 096 757 051 392 × 2 = 0 + 0,072 193 514 102 784;
  • 9) 0,072 193 514 102 784 × 2 = 0 + 0,144 387 028 205 568;
  • 10) 0,144 387 028 205 568 × 2 = 0 + 0,288 774 056 411 136;
  • 11) 0,288 774 056 411 136 × 2 = 0 + 0,577 548 112 822 272;
  • 12) 0,577 548 112 822 272 × 2 = 1 + 0,155 096 225 644 544;
  • 13) 0,155 096 225 644 544 × 2 = 0 + 0,310 192 451 289 088;
  • 14) 0,310 192 451 289 088 × 2 = 0 + 0,620 384 902 578 176;
  • 15) 0,620 384 902 578 176 × 2 = 1 + 0,240 769 805 156 352;
  • 16) 0,240 769 805 156 352 × 2 = 0 + 0,481 539 610 312 704;
  • 17) 0,481 539 610 312 704 × 2 = 0 + 0,963 079 220 625 408;
  • 18) 0,963 079 220 625 408 × 2 = 1 + 0,926 158 441 250 816;
  • 19) 0,926 158 441 250 816 × 2 = 1 + 0,852 316 882 501 632;
  • 20) 0,852 316 882 501 632 × 2 = 1 + 0,704 633 765 003 264;
  • 21) 0,704 633 765 003 264 × 2 = 1 + 0,409 267 530 006 528;
  • 22) 0,409 267 530 006 528 × 2 = 0 + 0,818 535 060 013 056;
  • 23) 0,818 535 060 013 056 × 2 = 1 + 0,637 070 120 026 112;
  • 24) 0,637 070 120 026 112 × 2 = 1 + 0,274 140 240 052 224;
  • 25) 0,274 140 240 052 224 × 2 = 0 + 0,548 280 480 104 448;
  • 26) 0,548 280 480 104 448 × 2 = 1 + 0,096 560 960 208 896;
  • 27) 0,096 560 960 208 896 × 2 = 0 + 0,193 121 920 417 792;
  • 28) 0,193 121 920 417 792 × 2 = 0 + 0,386 243 840 835 584;
  • 29) 0,386 243 840 835 584 × 2 = 0 + 0,772 487 681 671 168;
  • 30) 0,772 487 681 671 168 × 2 = 1 + 0,544 975 363 342 336;
  • 31) 0,544 975 363 342 336 × 2 = 1 + 0,089 950 726 684 672;
  • 32) 0,089 950 726 684 672 × 2 = 0 + 0,179 901 453 369 344;
  • 33) 0,179 901 453 369 344 × 2 = 0 + 0,359 802 906 738 688;
  • 34) 0,359 802 906 738 688 × 2 = 0 + 0,719 605 813 477 376;
  • 35) 0,719 605 813 477 376 × 2 = 1 + 0,439 211 626 954 752;
  • 36) 0,439 211 626 954 752 × 2 = 0 + 0,878 423 253 909 504;
  • 37) 0,878 423 253 909 504 × 2 = 1 + 0,756 846 507 819 008;
  • 38) 0,756 846 507 819 008 × 2 = 1 + 0,513 693 015 638 016;
  • 39) 0,513 693 015 638 016 × 2 = 1 + 0,027 386 031 276 032;
  • 40) 0,027 386 031 276 032 × 2 = 0 + 0,054 772 062 552 064;
  • 41) 0,054 772 062 552 064 × 2 = 0 + 0,109 544 125 104 128;
  • 42) 0,109 544 125 104 128 × 2 = 0 + 0,219 088 250 208 256;
  • 43) 0,219 088 250 208 256 × 2 = 0 + 0,438 176 500 416 512;
  • 44) 0,438 176 500 416 512 × 2 = 0 + 0,876 353 000 833 024;
  • 45) 0,876 353 000 833 024 × 2 = 1 + 0,752 706 001 666 048;
  • 46) 0,752 706 001 666 048 × 2 = 1 + 0,505 412 003 332 096;
  • 47) 0,505 412 003 332 096 × 2 = 1 + 0,010 824 006 664 192;
  • 48) 0,010 824 006 664 192 × 2 = 0 + 0,021 648 013 328 384;
  • 49) 0,021 648 013 328 384 × 2 = 0 + 0,043 296 026 656 768;
  • 50) 0,043 296 026 656 768 × 2 = 0 + 0,086 592 053 313 536;
  • 51) 0,086 592 053 313 536 × 2 = 0 + 0,173 184 106 627 072;
  • 52) 0,173 184 106 627 072 × 2 = 0 + 0,346 368 213 254 144;
  • 53) 0,346 368 213 254 144 × 2 = 0 + 0,692 736 426 508 288;
  • 54) 0,692 736 426 508 288 × 2 = 1 + 0,385 472 853 016 576;
  • 55) 0,385 472 853 016 576 × 2 = 0 + 0,770 945 706 033 152;
  • 56) 0,770 945 706 033 152 × 2 = 1 + 0,541 891 412 066 304;
  • 57) 0,541 891 412 066 304 × 2 = 1 + 0,083 782 824 132 608;
  • 58) 0,083 782 824 132 608 × 2 = 0 + 0,167 565 648 265 216;
  • 59) 0,167 565 648 265 216 × 2 = 0 + 0,335 131 296 530 432;
  • 60) 0,335 131 296 530 432 × 2 = 0 + 0,670 262 593 060 864;
  • 61) 0,670 262 593 060 864 × 2 = 1 + 0,340 525 186 121 728;
  • 62) 0,340 525 186 121 728 × 2 = 0 + 0,681 050 372 243 456;
  • 63) 0,681 050 372 243 456 × 2 = 1 + 0,362 100 744 486 912;
  • 64) 0,362 100 744 486 912 × 2 = 0 + 0,724 201 488 973 824;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 464(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1110 0000 0101 1000 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 464(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1110 0000 0101 1000 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 464(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1110 0000 0101 1000 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1110 0000 0101 1000 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1110 0000 0101 1000 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1110 0000 0101 1000 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1110 0000 0101 1000 1010 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1110 0000 0101 1000 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1110 0000 0101 1000 1010


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 464 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1110 0000 0101 1000 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 455 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100