-0,000 282 005 914 417 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 417(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 417(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 417| = 0,000 282 005 914 417


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 417.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 417 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 834;
  • 2) 0,000 564 011 828 834 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 668;
  • 3) 0,001 128 023 657 668 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 336;
  • 4) 0,002 256 047 315 336 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 672;
  • 5) 0,004 512 094 630 672 × 2 = 0 + 0,009 024 189 261 344;
  • 6) 0,009 024 189 261 344 × 2 = 0 + 0,018 048 378 522 688;
  • 7) 0,018 048 378 522 688 × 2 = 0 + 0,036 096 757 045 376;
  • 8) 0,036 096 757 045 376 × 2 = 0 + 0,072 193 514 090 752;
  • 9) 0,072 193 514 090 752 × 2 = 0 + 0,144 387 028 181 504;
  • 10) 0,144 387 028 181 504 × 2 = 0 + 0,288 774 056 363 008;
  • 11) 0,288 774 056 363 008 × 2 = 0 + 0,577 548 112 726 016;
  • 12) 0,577 548 112 726 016 × 2 = 1 + 0,155 096 225 452 032;
  • 13) 0,155 096 225 452 032 × 2 = 0 + 0,310 192 450 904 064;
  • 14) 0,310 192 450 904 064 × 2 = 0 + 0,620 384 901 808 128;
  • 15) 0,620 384 901 808 128 × 2 = 1 + 0,240 769 803 616 256;
  • 16) 0,240 769 803 616 256 × 2 = 0 + 0,481 539 607 232 512;
  • 17) 0,481 539 607 232 512 × 2 = 0 + 0,963 079 214 465 024;
  • 18) 0,963 079 214 465 024 × 2 = 1 + 0,926 158 428 930 048;
  • 19) 0,926 158 428 930 048 × 2 = 1 + 0,852 316 857 860 096;
  • 20) 0,852 316 857 860 096 × 2 = 1 + 0,704 633 715 720 192;
  • 21) 0,704 633 715 720 192 × 2 = 1 + 0,409 267 431 440 384;
  • 22) 0,409 267 431 440 384 × 2 = 0 + 0,818 534 862 880 768;
  • 23) 0,818 534 862 880 768 × 2 = 1 + 0,637 069 725 761 536;
  • 24) 0,637 069 725 761 536 × 2 = 1 + 0,274 139 451 523 072;
  • 25) 0,274 139 451 523 072 × 2 = 0 + 0,548 278 903 046 144;
  • 26) 0,548 278 903 046 144 × 2 = 1 + 0,096 557 806 092 288;
  • 27) 0,096 557 806 092 288 × 2 = 0 + 0,193 115 612 184 576;
  • 28) 0,193 115 612 184 576 × 2 = 0 + 0,386 231 224 369 152;
  • 29) 0,386 231 224 369 152 × 2 = 0 + 0,772 462 448 738 304;
  • 30) 0,772 462 448 738 304 × 2 = 1 + 0,544 924 897 476 608;
  • 31) 0,544 924 897 476 608 × 2 = 1 + 0,089 849 794 953 216;
  • 32) 0,089 849 794 953 216 × 2 = 0 + 0,179 699 589 906 432;
  • 33) 0,179 699 589 906 432 × 2 = 0 + 0,359 399 179 812 864;
  • 34) 0,359 399 179 812 864 × 2 = 0 + 0,718 798 359 625 728;
  • 35) 0,718 798 359 625 728 × 2 = 1 + 0,437 596 719 251 456;
  • 36) 0,437 596 719 251 456 × 2 = 0 + 0,875 193 438 502 912;
  • 37) 0,875 193 438 502 912 × 2 = 1 + 0,750 386 877 005 824;
  • 38) 0,750 386 877 005 824 × 2 = 1 + 0,500 773 754 011 648;
  • 39) 0,500 773 754 011 648 × 2 = 1 + 0,001 547 508 023 296;
  • 40) 0,001 547 508 023 296 × 2 = 0 + 0,003 095 016 046 592;
  • 41) 0,003 095 016 046 592 × 2 = 0 + 0,006 190 032 093 184;
  • 42) 0,006 190 032 093 184 × 2 = 0 + 0,012 380 064 186 368;
  • 43) 0,012 380 064 186 368 × 2 = 0 + 0,024 760 128 372 736;
  • 44) 0,024 760 128 372 736 × 2 = 0 + 0,049 520 256 745 472;
  • 45) 0,049 520 256 745 472 × 2 = 0 + 0,099 040 513 490 944;
  • 46) 0,099 040 513 490 944 × 2 = 0 + 0,198 081 026 981 888;
  • 47) 0,198 081 026 981 888 × 2 = 0 + 0,396 162 053 963 776;
  • 48) 0,396 162 053 963 776 × 2 = 0 + 0,792 324 107 927 552;
  • 49) 0,792 324 107 927 552 × 2 = 1 + 0,584 648 215 855 104;
  • 50) 0,584 648 215 855 104 × 2 = 1 + 0,169 296 431 710 208;
  • 51) 0,169 296 431 710 208 × 2 = 0 + 0,338 592 863 420 416;
  • 52) 0,338 592 863 420 416 × 2 = 0 + 0,677 185 726 840 832;
  • 53) 0,677 185 726 840 832 × 2 = 1 + 0,354 371 453 681 664;
  • 54) 0,354 371 453 681 664 × 2 = 0 + 0,708 742 907 363 328;
  • 55) 0,708 742 907 363 328 × 2 = 1 + 0,417 485 814 726 656;
  • 56) 0,417 485 814 726 656 × 2 = 0 + 0,834 971 629 453 312;
  • 57) 0,834 971 629 453 312 × 2 = 1 + 0,669 943 258 906 624;
  • 58) 0,669 943 258 906 624 × 2 = 1 + 0,339 886 517 813 248;
  • 59) 0,339 886 517 813 248 × 2 = 0 + 0,679 773 035 626 496;
  • 60) 0,679 773 035 626 496 × 2 = 1 + 0,359 546 071 252 992;
  • 61) 0,359 546 071 252 992 × 2 = 0 + 0,719 092 142 505 984;
  • 62) 0,719 092 142 505 984 × 2 = 1 + 0,438 184 285 011 968;
  • 63) 0,438 184 285 011 968 × 2 = 0 + 0,876 368 570 023 936;
  • 64) 0,876 368 570 023 936 × 2 = 1 + 0,752 737 140 047 872;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 417(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1100 1010 1101 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 417(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1100 1010 1101 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 417(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1100 1010 1101 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1100 1010 1101 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1100 1010 1101 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1100 1010 1101 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1100 1010 1101 0101 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1100 1010 1101 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1100 1010 1101 0101


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 417 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0000 1100 1010 1101 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 501 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100