-0,000 282 005 914 501 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 501(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 501(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 501| = 0,000 282 005 914 501


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 501.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 501 × 2 = 0 + 0,000 564 011 829 002;
  • 2) 0,000 564 011 829 002 × 2 = 0 + 0,001 128 023 658 004;
  • 3) 0,001 128 023 658 004 × 2 = 0 + 0,002 256 047 316 008;
  • 4) 0,002 256 047 316 008 × 2 = 0 + 0,004 512 094 632 016;
  • 5) 0,004 512 094 632 016 × 2 = 0 + 0,009 024 189 264 032;
  • 6) 0,009 024 189 264 032 × 2 = 0 + 0,018 048 378 528 064;
  • 7) 0,018 048 378 528 064 × 2 = 0 + 0,036 096 757 056 128;
  • 8) 0,036 096 757 056 128 × 2 = 0 + 0,072 193 514 112 256;
  • 9) 0,072 193 514 112 256 × 2 = 0 + 0,144 387 028 224 512;
  • 10) 0,144 387 028 224 512 × 2 = 0 + 0,288 774 056 449 024;
  • 11) 0,288 774 056 449 024 × 2 = 0 + 0,577 548 112 898 048;
  • 12) 0,577 548 112 898 048 × 2 = 1 + 0,155 096 225 796 096;
  • 13) 0,155 096 225 796 096 × 2 = 0 + 0,310 192 451 592 192;
  • 14) 0,310 192 451 592 192 × 2 = 0 + 0,620 384 903 184 384;
  • 15) 0,620 384 903 184 384 × 2 = 1 + 0,240 769 806 368 768;
  • 16) 0,240 769 806 368 768 × 2 = 0 + 0,481 539 612 737 536;
  • 17) 0,481 539 612 737 536 × 2 = 0 + 0,963 079 225 475 072;
  • 18) 0,963 079 225 475 072 × 2 = 1 + 0,926 158 450 950 144;
  • 19) 0,926 158 450 950 144 × 2 = 1 + 0,852 316 901 900 288;
  • 20) 0,852 316 901 900 288 × 2 = 1 + 0,704 633 803 800 576;
  • 21) 0,704 633 803 800 576 × 2 = 1 + 0,409 267 607 601 152;
  • 22) 0,409 267 607 601 152 × 2 = 0 + 0,818 535 215 202 304;
  • 23) 0,818 535 215 202 304 × 2 = 1 + 0,637 070 430 404 608;
  • 24) 0,637 070 430 404 608 × 2 = 1 + 0,274 140 860 809 216;
  • 25) 0,274 140 860 809 216 × 2 = 0 + 0,548 281 721 618 432;
  • 26) 0,548 281 721 618 432 × 2 = 1 + 0,096 563 443 236 864;
  • 27) 0,096 563 443 236 864 × 2 = 0 + 0,193 126 886 473 728;
  • 28) 0,193 126 886 473 728 × 2 = 0 + 0,386 253 772 947 456;
  • 29) 0,386 253 772 947 456 × 2 = 0 + 0,772 507 545 894 912;
  • 30) 0,772 507 545 894 912 × 2 = 1 + 0,545 015 091 789 824;
  • 31) 0,545 015 091 789 824 × 2 = 1 + 0,090 030 183 579 648;
  • 32) 0,090 030 183 579 648 × 2 = 0 + 0,180 060 367 159 296;
  • 33) 0,180 060 367 159 296 × 2 = 0 + 0,360 120 734 318 592;
  • 34) 0,360 120 734 318 592 × 2 = 0 + 0,720 241 468 637 184;
  • 35) 0,720 241 468 637 184 × 2 = 1 + 0,440 482 937 274 368;
  • 36) 0,440 482 937 274 368 × 2 = 0 + 0,880 965 874 548 736;
  • 37) 0,880 965 874 548 736 × 2 = 1 + 0,761 931 749 097 472;
  • 38) 0,761 931 749 097 472 × 2 = 1 + 0,523 863 498 194 944;
  • 39) 0,523 863 498 194 944 × 2 = 1 + 0,047 726 996 389 888;
  • 40) 0,047 726 996 389 888 × 2 = 0 + 0,095 453 992 779 776;
  • 41) 0,095 453 992 779 776 × 2 = 0 + 0,190 907 985 559 552;
  • 42) 0,190 907 985 559 552 × 2 = 0 + 0,381 815 971 119 104;
  • 43) 0,381 815 971 119 104 × 2 = 0 + 0,763 631 942 238 208;
  • 44) 0,763 631 942 238 208 × 2 = 1 + 0,527 263 884 476 416;
  • 45) 0,527 263 884 476 416 × 2 = 1 + 0,054 527 768 952 832;
  • 46) 0,054 527 768 952 832 × 2 = 0 + 0,109 055 537 905 664;
  • 47) 0,109 055 537 905 664 × 2 = 0 + 0,218 111 075 811 328;
  • 48) 0,218 111 075 811 328 × 2 = 0 + 0,436 222 151 622 656;
  • 49) 0,436 222 151 622 656 × 2 = 0 + 0,872 444 303 245 312;
  • 50) 0,872 444 303 245 312 × 2 = 1 + 0,744 888 606 490 624;
  • 51) 0,744 888 606 490 624 × 2 = 1 + 0,489 777 212 981 248;
  • 52) 0,489 777 212 981 248 × 2 = 0 + 0,979 554 425 962 496;
  • 53) 0,979 554 425 962 496 × 2 = 1 + 0,959 108 851 924 992;
  • 54) 0,959 108 851 924 992 × 2 = 1 + 0,918 217 703 849 984;
  • 55) 0,918 217 703 849 984 × 2 = 1 + 0,836 435 407 699 968;
  • 56) 0,836 435 407 699 968 × 2 = 1 + 0,672 870 815 399 936;
  • 57) 0,672 870 815 399 936 × 2 = 1 + 0,345 741 630 799 872;
  • 58) 0,345 741 630 799 872 × 2 = 0 + 0,691 483 261 599 744;
  • 59) 0,691 483 261 599 744 × 2 = 1 + 0,382 966 523 199 488;
  • 60) 0,382 966 523 199 488 × 2 = 0 + 0,765 933 046 398 976;
  • 61) 0,765 933 046 398 976 × 2 = 1 + 0,531 866 092 797 952;
  • 62) 0,531 866 092 797 952 × 2 = 1 + 0,063 732 185 595 904;
  • 63) 0,063 732 185 595 904 × 2 = 0 + 0,127 464 371 191 808;
  • 64) 0,127 464 371 191 808 × 2 = 0 + 0,254 928 742 383 616;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 501(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1000 0110 1111 1010 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 501(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1000 0110 1111 1010 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 501(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1000 0110 1111 1010 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1000 0110 1111 1010 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1000 0110 1111 1010 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1000 0110 1111 1010 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1000 0110 1111 1010 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1000 0110 1111 1010 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1000 0110 1111 1010 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 501 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0001 1000 0110 1111 1010 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 455 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100