-0,000 282 005 914 438 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 438(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 438(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 438| = 0,000 282 005 914 438


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 438.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 438 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 876;
  • 2) 0,000 564 011 828 876 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 752;
  • 3) 0,001 128 023 657 752 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 504;
  • 4) 0,002 256 047 315 504 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 008;
  • 5) 0,004 512 094 631 008 × 2 = 0 + 0,009 024 189 262 016;
  • 6) 0,009 024 189 262 016 × 2 = 0 + 0,018 048 378 524 032;
  • 7) 0,018 048 378 524 032 × 2 = 0 + 0,036 096 757 048 064;
  • 8) 0,036 096 757 048 064 × 2 = 0 + 0,072 193 514 096 128;
  • 9) 0,072 193 514 096 128 × 2 = 0 + 0,144 387 028 192 256;
  • 10) 0,144 387 028 192 256 × 2 = 0 + 0,288 774 056 384 512;
  • 11) 0,288 774 056 384 512 × 2 = 0 + 0,577 548 112 769 024;
  • 12) 0,577 548 112 769 024 × 2 = 1 + 0,155 096 225 538 048;
  • 13) 0,155 096 225 538 048 × 2 = 0 + 0,310 192 451 076 096;
  • 14) 0,310 192 451 076 096 × 2 = 0 + 0,620 384 902 152 192;
  • 15) 0,620 384 902 152 192 × 2 = 1 + 0,240 769 804 304 384;
  • 16) 0,240 769 804 304 384 × 2 = 0 + 0,481 539 608 608 768;
  • 17) 0,481 539 608 608 768 × 2 = 0 + 0,963 079 217 217 536;
  • 18) 0,963 079 217 217 536 × 2 = 1 + 0,926 158 434 435 072;
  • 19) 0,926 158 434 435 072 × 2 = 1 + 0,852 316 868 870 144;
  • 20) 0,852 316 868 870 144 × 2 = 1 + 0,704 633 737 740 288;
  • 21) 0,704 633 737 740 288 × 2 = 1 + 0,409 267 475 480 576;
  • 22) 0,409 267 475 480 576 × 2 = 0 + 0,818 534 950 961 152;
  • 23) 0,818 534 950 961 152 × 2 = 1 + 0,637 069 901 922 304;
  • 24) 0,637 069 901 922 304 × 2 = 1 + 0,274 139 803 844 608;
  • 25) 0,274 139 803 844 608 × 2 = 0 + 0,548 279 607 689 216;
  • 26) 0,548 279 607 689 216 × 2 = 1 + 0,096 559 215 378 432;
  • 27) 0,096 559 215 378 432 × 2 = 0 + 0,193 118 430 756 864;
  • 28) 0,193 118 430 756 864 × 2 = 0 + 0,386 236 861 513 728;
  • 29) 0,386 236 861 513 728 × 2 = 0 + 0,772 473 723 027 456;
  • 30) 0,772 473 723 027 456 × 2 = 1 + 0,544 947 446 054 912;
  • 31) 0,544 947 446 054 912 × 2 = 1 + 0,089 894 892 109 824;
  • 32) 0,089 894 892 109 824 × 2 = 0 + 0,179 789 784 219 648;
  • 33) 0,179 789 784 219 648 × 2 = 0 + 0,359 579 568 439 296;
  • 34) 0,359 579 568 439 296 × 2 = 0 + 0,719 159 136 878 592;
  • 35) 0,719 159 136 878 592 × 2 = 1 + 0,438 318 273 757 184;
  • 36) 0,438 318 273 757 184 × 2 = 0 + 0,876 636 547 514 368;
  • 37) 0,876 636 547 514 368 × 2 = 1 + 0,753 273 095 028 736;
  • 38) 0,753 273 095 028 736 × 2 = 1 + 0,506 546 190 057 472;
  • 39) 0,506 546 190 057 472 × 2 = 1 + 0,013 092 380 114 944;
  • 40) 0,013 092 380 114 944 × 2 = 0 + 0,026 184 760 229 888;
  • 41) 0,026 184 760 229 888 × 2 = 0 + 0,052 369 520 459 776;
  • 42) 0,052 369 520 459 776 × 2 = 0 + 0,104 739 040 919 552;
  • 43) 0,104 739 040 919 552 × 2 = 0 + 0,209 478 081 839 104;
  • 44) 0,209 478 081 839 104 × 2 = 0 + 0,418 956 163 678 208;
  • 45) 0,418 956 163 678 208 × 2 = 0 + 0,837 912 327 356 416;
  • 46) 0,837 912 327 356 416 × 2 = 1 + 0,675 824 654 712 832;
  • 47) 0,675 824 654 712 832 × 2 = 1 + 0,351 649 309 425 664;
  • 48) 0,351 649 309 425 664 × 2 = 0 + 0,703 298 618 851 328;
  • 49) 0,703 298 618 851 328 × 2 = 1 + 0,406 597 237 702 656;
  • 50) 0,406 597 237 702 656 × 2 = 0 + 0,813 194 475 405 312;
  • 51) 0,813 194 475 405 312 × 2 = 1 + 0,626 388 950 810 624;
  • 52) 0,626 388 950 810 624 × 2 = 1 + 0,252 777 901 621 248;
  • 53) 0,252 777 901 621 248 × 2 = 0 + 0,505 555 803 242 496;
  • 54) 0,505 555 803 242 496 × 2 = 1 + 0,011 111 606 484 992;
  • 55) 0,011 111 606 484 992 × 2 = 0 + 0,022 223 212 969 984;
  • 56) 0,022 223 212 969 984 × 2 = 0 + 0,044 446 425 939 968;
  • 57) 0,044 446 425 939 968 × 2 = 0 + 0,088 892 851 879 936;
  • 58) 0,088 892 851 879 936 × 2 = 0 + 0,177 785 703 759 872;
  • 59) 0,177 785 703 759 872 × 2 = 0 + 0,355 571 407 519 744;
  • 60) 0,355 571 407 519 744 × 2 = 0 + 0,711 142 815 039 488;
  • 61) 0,711 142 815 039 488 × 2 = 1 + 0,422 285 630 078 976;
  • 62) 0,422 285 630 078 976 × 2 = 0 + 0,844 571 260 157 952;
  • 63) 0,844 571 260 157 952 × 2 = 1 + 0,689 142 520 315 904;
  • 64) 0,689 142 520 315 904 × 2 = 1 + 0,378 285 040 631 808;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 438(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0110 1011 0100 0000 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 438(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0110 1011 0100 0000 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 438(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0110 1011 0100 0000 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0110 1011 0100 0000 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0110 1011 0100 0000 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0110 1011 0100 0000 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0110 1011 0100 0000 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0110 1011 0100 0000 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0110 1011 0100 0000 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 438 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0110 1011 0100 0000 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 412 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100