-0,000 282 005 914 44 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 44(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 44(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 44| = 0,000 282 005 914 44


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 44.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 44 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 88;
  • 2) 0,000 564 011 828 88 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 76;
  • 3) 0,001 128 023 657 76 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 52;
  • 4) 0,002 256 047 315 52 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 04;
  • 5) 0,004 512 094 631 04 × 2 = 0 + 0,009 024 189 262 08;
  • 6) 0,009 024 189 262 08 × 2 = 0 + 0,018 048 378 524 16;
  • 7) 0,018 048 378 524 16 × 2 = 0 + 0,036 096 757 048 32;
  • 8) 0,036 096 757 048 32 × 2 = 0 + 0,072 193 514 096 64;
  • 9) 0,072 193 514 096 64 × 2 = 0 + 0,144 387 028 193 28;
  • 10) 0,144 387 028 193 28 × 2 = 0 + 0,288 774 056 386 56;
  • 11) 0,288 774 056 386 56 × 2 = 0 + 0,577 548 112 773 12;
  • 12) 0,577 548 112 773 12 × 2 = 1 + 0,155 096 225 546 24;
  • 13) 0,155 096 225 546 24 × 2 = 0 + 0,310 192 451 092 48;
  • 14) 0,310 192 451 092 48 × 2 = 0 + 0,620 384 902 184 96;
  • 15) 0,620 384 902 184 96 × 2 = 1 + 0,240 769 804 369 92;
  • 16) 0,240 769 804 369 92 × 2 = 0 + 0,481 539 608 739 84;
  • 17) 0,481 539 608 739 84 × 2 = 0 + 0,963 079 217 479 68;
  • 18) 0,963 079 217 479 68 × 2 = 1 + 0,926 158 434 959 36;
  • 19) 0,926 158 434 959 36 × 2 = 1 + 0,852 316 869 918 72;
  • 20) 0,852 316 869 918 72 × 2 = 1 + 0,704 633 739 837 44;
  • 21) 0,704 633 739 837 44 × 2 = 1 + 0,409 267 479 674 88;
  • 22) 0,409 267 479 674 88 × 2 = 0 + 0,818 534 959 349 76;
  • 23) 0,818 534 959 349 76 × 2 = 1 + 0,637 069 918 699 52;
  • 24) 0,637 069 918 699 52 × 2 = 1 + 0,274 139 837 399 04;
  • 25) 0,274 139 837 399 04 × 2 = 0 + 0,548 279 674 798 08;
  • 26) 0,548 279 674 798 08 × 2 = 1 + 0,096 559 349 596 16;
  • 27) 0,096 559 349 596 16 × 2 = 0 + 0,193 118 699 192 32;
  • 28) 0,193 118 699 192 32 × 2 = 0 + 0,386 237 398 384 64;
  • 29) 0,386 237 398 384 64 × 2 = 0 + 0,772 474 796 769 28;
  • 30) 0,772 474 796 769 28 × 2 = 1 + 0,544 949 593 538 56;
  • 31) 0,544 949 593 538 56 × 2 = 1 + 0,089 899 187 077 12;
  • 32) 0,089 899 187 077 12 × 2 = 0 + 0,179 798 374 154 24;
  • 33) 0,179 798 374 154 24 × 2 = 0 + 0,359 596 748 308 48;
  • 34) 0,359 596 748 308 48 × 2 = 0 + 0,719 193 496 616 96;
  • 35) 0,719 193 496 616 96 × 2 = 1 + 0,438 386 993 233 92;
  • 36) 0,438 386 993 233 92 × 2 = 0 + 0,876 773 986 467 84;
  • 37) 0,876 773 986 467 84 × 2 = 1 + 0,753 547 972 935 68;
  • 38) 0,753 547 972 935 68 × 2 = 1 + 0,507 095 945 871 36;
  • 39) 0,507 095 945 871 36 × 2 = 1 + 0,014 191 891 742 72;
  • 40) 0,014 191 891 742 72 × 2 = 0 + 0,028 383 783 485 44;
  • 41) 0,028 383 783 485 44 × 2 = 0 + 0,056 767 566 970 88;
  • 42) 0,056 767 566 970 88 × 2 = 0 + 0,113 535 133 941 76;
  • 43) 0,113 535 133 941 76 × 2 = 0 + 0,227 070 267 883 52;
  • 44) 0,227 070 267 883 52 × 2 = 0 + 0,454 140 535 767 04;
  • 45) 0,454 140 535 767 04 × 2 = 0 + 0,908 281 071 534 08;
  • 46) 0,908 281 071 534 08 × 2 = 1 + 0,816 562 143 068 16;
  • 47) 0,816 562 143 068 16 × 2 = 1 + 0,633 124 286 136 32;
  • 48) 0,633 124 286 136 32 × 2 = 1 + 0,266 248 572 272 64;
  • 49) 0,266 248 572 272 64 × 2 = 0 + 0,532 497 144 545 28;
  • 50) 0,532 497 144 545 28 × 2 = 1 + 0,064 994 289 090 56;
  • 51) 0,064 994 289 090 56 × 2 = 0 + 0,129 988 578 181 12;
  • 52) 0,129 988 578 181 12 × 2 = 0 + 0,259 977 156 362 24;
  • 53) 0,259 977 156 362 24 × 2 = 0 + 0,519 954 312 724 48;
  • 54) 0,519 954 312 724 48 × 2 = 1 + 0,039 908 625 448 96;
  • 55) 0,039 908 625 448 96 × 2 = 0 + 0,079 817 250 897 92;
  • 56) 0,079 817 250 897 92 × 2 = 0 + 0,159 634 501 795 84;
  • 57) 0,159 634 501 795 84 × 2 = 0 + 0,319 269 003 591 68;
  • 58) 0,319 269 003 591 68 × 2 = 0 + 0,638 538 007 183 36;
  • 59) 0,638 538 007 183 36 × 2 = 1 + 0,277 076 014 366 72;
  • 60) 0,277 076 014 366 72 × 2 = 0 + 0,554 152 028 733 44;
  • 61) 0,554 152 028 733 44 × 2 = 1 + 0,108 304 057 466 88;
  • 62) 0,108 304 057 466 88 × 2 = 0 + 0,216 608 114 933 76;
  • 63) 0,216 608 114 933 76 × 2 = 0 + 0,433 216 229 867 52;
  • 64) 0,433 216 229 867 52 × 2 = 0 + 0,866 432 459 735 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0111 0100 0100 0010 1000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0111 0100 0100 0010 1000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 44(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0111 0100 0100 0010 1000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0111 0100 0100 0010 1000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0111 0100 0100 0010 1000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0111 0100 0100 0010 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0111 0100 0100 0010 1000 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0111 0100 0100 0010 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0111 0100 0100 0010 1000


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 44 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 0111 0100 0100 0010 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 54 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100