-0,000 282 005 914 455 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 455(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 455(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 455| = 0,000 282 005 914 455


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 455.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 455 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 91;
  • 2) 0,000 564 011 828 91 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 82;
  • 3) 0,001 128 023 657 82 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 64;
  • 4) 0,002 256 047 315 64 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 28;
  • 5) 0,004 512 094 631 28 × 2 = 0 + 0,009 024 189 262 56;
  • 6) 0,009 024 189 262 56 × 2 = 0 + 0,018 048 378 525 12;
  • 7) 0,018 048 378 525 12 × 2 = 0 + 0,036 096 757 050 24;
  • 8) 0,036 096 757 050 24 × 2 = 0 + 0,072 193 514 100 48;
  • 9) 0,072 193 514 100 48 × 2 = 0 + 0,144 387 028 200 96;
  • 10) 0,144 387 028 200 96 × 2 = 0 + 0,288 774 056 401 92;
  • 11) 0,288 774 056 401 92 × 2 = 0 + 0,577 548 112 803 84;
  • 12) 0,577 548 112 803 84 × 2 = 1 + 0,155 096 225 607 68;
  • 13) 0,155 096 225 607 68 × 2 = 0 + 0,310 192 451 215 36;
  • 14) 0,310 192 451 215 36 × 2 = 0 + 0,620 384 902 430 72;
  • 15) 0,620 384 902 430 72 × 2 = 1 + 0,240 769 804 861 44;
  • 16) 0,240 769 804 861 44 × 2 = 0 + 0,481 539 609 722 88;
  • 17) 0,481 539 609 722 88 × 2 = 0 + 0,963 079 219 445 76;
  • 18) 0,963 079 219 445 76 × 2 = 1 + 0,926 158 438 891 52;
  • 19) 0,926 158 438 891 52 × 2 = 1 + 0,852 316 877 783 04;
  • 20) 0,852 316 877 783 04 × 2 = 1 + 0,704 633 755 566 08;
  • 21) 0,704 633 755 566 08 × 2 = 1 + 0,409 267 511 132 16;
  • 22) 0,409 267 511 132 16 × 2 = 0 + 0,818 535 022 264 32;
  • 23) 0,818 535 022 264 32 × 2 = 1 + 0,637 070 044 528 64;
  • 24) 0,637 070 044 528 64 × 2 = 1 + 0,274 140 089 057 28;
  • 25) 0,274 140 089 057 28 × 2 = 0 + 0,548 280 178 114 56;
  • 26) 0,548 280 178 114 56 × 2 = 1 + 0,096 560 356 229 12;
  • 27) 0,096 560 356 229 12 × 2 = 0 + 0,193 120 712 458 24;
  • 28) 0,193 120 712 458 24 × 2 = 0 + 0,386 241 424 916 48;
  • 29) 0,386 241 424 916 48 × 2 = 0 + 0,772 482 849 832 96;
  • 30) 0,772 482 849 832 96 × 2 = 1 + 0,544 965 699 665 92;
  • 31) 0,544 965 699 665 92 × 2 = 1 + 0,089 931 399 331 84;
  • 32) 0,089 931 399 331 84 × 2 = 0 + 0,179 862 798 663 68;
  • 33) 0,179 862 798 663 68 × 2 = 0 + 0,359 725 597 327 36;
  • 34) 0,359 725 597 327 36 × 2 = 0 + 0,719 451 194 654 72;
  • 35) 0,719 451 194 654 72 × 2 = 1 + 0,438 902 389 309 44;
  • 36) 0,438 902 389 309 44 × 2 = 0 + 0,877 804 778 618 88;
  • 37) 0,877 804 778 618 88 × 2 = 1 + 0,755 609 557 237 76;
  • 38) 0,755 609 557 237 76 × 2 = 1 + 0,511 219 114 475 52;
  • 39) 0,511 219 114 475 52 × 2 = 1 + 0,022 438 228 951 04;
  • 40) 0,022 438 228 951 04 × 2 = 0 + 0,044 876 457 902 08;
  • 41) 0,044 876 457 902 08 × 2 = 0 + 0,089 752 915 804 16;
  • 42) 0,089 752 915 804 16 × 2 = 0 + 0,179 505 831 608 32;
  • 43) 0,179 505 831 608 32 × 2 = 0 + 0,359 011 663 216 64;
  • 44) 0,359 011 663 216 64 × 2 = 0 + 0,718 023 326 433 28;
  • 45) 0,718 023 326 433 28 × 2 = 1 + 0,436 046 652 866 56;
  • 46) 0,436 046 652 866 56 × 2 = 0 + 0,872 093 305 733 12;
  • 47) 0,872 093 305 733 12 × 2 = 1 + 0,744 186 611 466 24;
  • 48) 0,744 186 611 466 24 × 2 = 1 + 0,488 373 222 932 48;
  • 49) 0,488 373 222 932 48 × 2 = 0 + 0,976 746 445 864 96;
  • 50) 0,976 746 445 864 96 × 2 = 1 + 0,953 492 891 729 92;
  • 51) 0,953 492 891 729 92 × 2 = 1 + 0,906 985 783 459 84;
  • 52) 0,906 985 783 459 84 × 2 = 1 + 0,813 971 566 919 68;
  • 53) 0,813 971 566 919 68 × 2 = 1 + 0,627 943 133 839 36;
  • 54) 0,627 943 133 839 36 × 2 = 1 + 0,255 886 267 678 72;
  • 55) 0,255 886 267 678 72 × 2 = 0 + 0,511 772 535 357 44;
  • 56) 0,511 772 535 357 44 × 2 = 1 + 0,023 545 070 714 88;
  • 57) 0,023 545 070 714 88 × 2 = 0 + 0,047 090 141 429 76;
  • 58) 0,047 090 141 429 76 × 2 = 0 + 0,094 180 282 859 52;
  • 59) 0,094 180 282 859 52 × 2 = 0 + 0,188 360 565 719 04;
  • 60) 0,188 360 565 719 04 × 2 = 0 + 0,376 721 131 438 08;
  • 61) 0,376 721 131 438 08 × 2 = 0 + 0,753 442 262 876 16;
  • 62) 0,753 442 262 876 16 × 2 = 1 + 0,506 884 525 752 32;
  • 63) 0,506 884 525 752 32 × 2 = 1 + 0,013 769 051 504 64;
  • 64) 0,013 769 051 504 64 × 2 = 0 + 0,027 538 103 009 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 455(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 0111 1101 0000 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 455(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 0111 1101 0000 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 455(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 0111 1101 0000 0110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 0111 1101 0000 0110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 0111 1101 0000 0110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 0111 1101 0000 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 0111 1101 0000 0110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 0111 1101 0000 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 0111 1101 0000 0110


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 455 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1011 0111 1101 0000 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 409 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100