-0,000 282 005 914 461 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 461(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 461(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 461| = 0,000 282 005 914 461


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 461.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 461 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 922;
  • 2) 0,000 564 011 828 922 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 844;
  • 3) 0,001 128 023 657 844 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 688;
  • 4) 0,002 256 047 315 688 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 376;
  • 5) 0,004 512 094 631 376 × 2 = 0 + 0,009 024 189 262 752;
  • 6) 0,009 024 189 262 752 × 2 = 0 + 0,018 048 378 525 504;
  • 7) 0,018 048 378 525 504 × 2 = 0 + 0,036 096 757 051 008;
  • 8) 0,036 096 757 051 008 × 2 = 0 + 0,072 193 514 102 016;
  • 9) 0,072 193 514 102 016 × 2 = 0 + 0,144 387 028 204 032;
  • 10) 0,144 387 028 204 032 × 2 = 0 + 0,288 774 056 408 064;
  • 11) 0,288 774 056 408 064 × 2 = 0 + 0,577 548 112 816 128;
  • 12) 0,577 548 112 816 128 × 2 = 1 + 0,155 096 225 632 256;
  • 13) 0,155 096 225 632 256 × 2 = 0 + 0,310 192 451 264 512;
  • 14) 0,310 192 451 264 512 × 2 = 0 + 0,620 384 902 529 024;
  • 15) 0,620 384 902 529 024 × 2 = 1 + 0,240 769 805 058 048;
  • 16) 0,240 769 805 058 048 × 2 = 0 + 0,481 539 610 116 096;
  • 17) 0,481 539 610 116 096 × 2 = 0 + 0,963 079 220 232 192;
  • 18) 0,963 079 220 232 192 × 2 = 1 + 0,926 158 440 464 384;
  • 19) 0,926 158 440 464 384 × 2 = 1 + 0,852 316 880 928 768;
  • 20) 0,852 316 880 928 768 × 2 = 1 + 0,704 633 761 857 536;
  • 21) 0,704 633 761 857 536 × 2 = 1 + 0,409 267 523 715 072;
  • 22) 0,409 267 523 715 072 × 2 = 0 + 0,818 535 047 430 144;
  • 23) 0,818 535 047 430 144 × 2 = 1 + 0,637 070 094 860 288;
  • 24) 0,637 070 094 860 288 × 2 = 1 + 0,274 140 189 720 576;
  • 25) 0,274 140 189 720 576 × 2 = 0 + 0,548 280 379 441 152;
  • 26) 0,548 280 379 441 152 × 2 = 1 + 0,096 560 758 882 304;
  • 27) 0,096 560 758 882 304 × 2 = 0 + 0,193 121 517 764 608;
  • 28) 0,193 121 517 764 608 × 2 = 0 + 0,386 243 035 529 216;
  • 29) 0,386 243 035 529 216 × 2 = 0 + 0,772 486 071 058 432;
  • 30) 0,772 486 071 058 432 × 2 = 1 + 0,544 972 142 116 864;
  • 31) 0,544 972 142 116 864 × 2 = 1 + 0,089 944 284 233 728;
  • 32) 0,089 944 284 233 728 × 2 = 0 + 0,179 888 568 467 456;
  • 33) 0,179 888 568 467 456 × 2 = 0 + 0,359 777 136 934 912;
  • 34) 0,359 777 136 934 912 × 2 = 0 + 0,719 554 273 869 824;
  • 35) 0,719 554 273 869 824 × 2 = 1 + 0,439 108 547 739 648;
  • 36) 0,439 108 547 739 648 × 2 = 0 + 0,878 217 095 479 296;
  • 37) 0,878 217 095 479 296 × 2 = 1 + 0,756 434 190 958 592;
  • 38) 0,756 434 190 958 592 × 2 = 1 + 0,512 868 381 917 184;
  • 39) 0,512 868 381 917 184 × 2 = 1 + 0,025 736 763 834 368;
  • 40) 0,025 736 763 834 368 × 2 = 0 + 0,051 473 527 668 736;
  • 41) 0,051 473 527 668 736 × 2 = 0 + 0,102 947 055 337 472;
  • 42) 0,102 947 055 337 472 × 2 = 0 + 0,205 894 110 674 944;
  • 43) 0,205 894 110 674 944 × 2 = 0 + 0,411 788 221 349 888;
  • 44) 0,411 788 221 349 888 × 2 = 0 + 0,823 576 442 699 776;
  • 45) 0,823 576 442 699 776 × 2 = 1 + 0,647 152 885 399 552;
  • 46) 0,647 152 885 399 552 × 2 = 1 + 0,294 305 770 799 104;
  • 47) 0,294 305 770 799 104 × 2 = 0 + 0,588 611 541 598 208;
  • 48) 0,588 611 541 598 208 × 2 = 1 + 0,177 223 083 196 416;
  • 49) 0,177 223 083 196 416 × 2 = 0 + 0,354 446 166 392 832;
  • 50) 0,354 446 166 392 832 × 2 = 0 + 0,708 892 332 785 664;
  • 51) 0,708 892 332 785 664 × 2 = 1 + 0,417 784 665 571 328;
  • 52) 0,417 784 665 571 328 × 2 = 0 + 0,835 569 331 142 656;
  • 53) 0,835 569 331 142 656 × 2 = 1 + 0,671 138 662 285 312;
  • 54) 0,671 138 662 285 312 × 2 = 1 + 0,342 277 324 570 624;
  • 55) 0,342 277 324 570 624 × 2 = 0 + 0,684 554 649 141 248;
  • 56) 0,684 554 649 141 248 × 2 = 1 + 0,369 109 298 282 496;
  • 57) 0,369 109 298 282 496 × 2 = 0 + 0,738 218 596 564 992;
  • 58) 0,738 218 596 564 992 × 2 = 1 + 0,476 437 193 129 984;
  • 59) 0,476 437 193 129 984 × 2 = 0 + 0,952 874 386 259 968;
  • 60) 0,952 874 386 259 968 × 2 = 1 + 0,905 748 772 519 936;
  • 61) 0,905 748 772 519 936 × 2 = 1 + 0,811 497 545 039 872;
  • 62) 0,811 497 545 039 872 × 2 = 1 + 0,622 995 090 079 744;
  • 63) 0,622 995 090 079 744 × 2 = 1 + 0,245 990 180 159 488;
  • 64) 0,245 990 180 159 488 × 2 = 0 + 0,491 980 360 318 976;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 461(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1101 0010 1101 0101 1110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 461(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1101 0010 1101 0101 1110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 461(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1101 0010 1101 0101 1110(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1101 0010 1101 0101 1110(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1101 0010 1101 0101 1110(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1101 0010 1101 0101 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1101 0010 1101 0101 1110 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1101 0010 1101 0101 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1101 0010 1101 0101 1110


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 461 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1101 0010 1101 0101 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 504 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100