-0,000 282 005 914 469 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 469(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 469(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 469| = 0,000 282 005 914 469


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 469.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 469 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 938;
  • 2) 0,000 564 011 828 938 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 876;
  • 3) 0,001 128 023 657 876 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 752;
  • 4) 0,002 256 047 315 752 × 2 = 0 + 0,004 512 094 631 504;
  • 5) 0,004 512 094 631 504 × 2 = 0 + 0,009 024 189 263 008;
  • 6) 0,009 024 189 263 008 × 2 = 0 + 0,018 048 378 526 016;
  • 7) 0,018 048 378 526 016 × 2 = 0 + 0,036 096 757 052 032;
  • 8) 0,036 096 757 052 032 × 2 = 0 + 0,072 193 514 104 064;
  • 9) 0,072 193 514 104 064 × 2 = 0 + 0,144 387 028 208 128;
  • 10) 0,144 387 028 208 128 × 2 = 0 + 0,288 774 056 416 256;
  • 11) 0,288 774 056 416 256 × 2 = 0 + 0,577 548 112 832 512;
  • 12) 0,577 548 112 832 512 × 2 = 1 + 0,155 096 225 665 024;
  • 13) 0,155 096 225 665 024 × 2 = 0 + 0,310 192 451 330 048;
  • 14) 0,310 192 451 330 048 × 2 = 0 + 0,620 384 902 660 096;
  • 15) 0,620 384 902 660 096 × 2 = 1 + 0,240 769 805 320 192;
  • 16) 0,240 769 805 320 192 × 2 = 0 + 0,481 539 610 640 384;
  • 17) 0,481 539 610 640 384 × 2 = 0 + 0,963 079 221 280 768;
  • 18) 0,963 079 221 280 768 × 2 = 1 + 0,926 158 442 561 536;
  • 19) 0,926 158 442 561 536 × 2 = 1 + 0,852 316 885 123 072;
  • 20) 0,852 316 885 123 072 × 2 = 1 + 0,704 633 770 246 144;
  • 21) 0,704 633 770 246 144 × 2 = 1 + 0,409 267 540 492 288;
  • 22) 0,409 267 540 492 288 × 2 = 0 + 0,818 535 080 984 576;
  • 23) 0,818 535 080 984 576 × 2 = 1 + 0,637 070 161 969 152;
  • 24) 0,637 070 161 969 152 × 2 = 1 + 0,274 140 323 938 304;
  • 25) 0,274 140 323 938 304 × 2 = 0 + 0,548 280 647 876 608;
  • 26) 0,548 280 647 876 608 × 2 = 1 + 0,096 561 295 753 216;
  • 27) 0,096 561 295 753 216 × 2 = 0 + 0,193 122 591 506 432;
  • 28) 0,193 122 591 506 432 × 2 = 0 + 0,386 245 183 012 864;
  • 29) 0,386 245 183 012 864 × 2 = 0 + 0,772 490 366 025 728;
  • 30) 0,772 490 366 025 728 × 2 = 1 + 0,544 980 732 051 456;
  • 31) 0,544 980 732 051 456 × 2 = 1 + 0,089 961 464 102 912;
  • 32) 0,089 961 464 102 912 × 2 = 0 + 0,179 922 928 205 824;
  • 33) 0,179 922 928 205 824 × 2 = 0 + 0,359 845 856 411 648;
  • 34) 0,359 845 856 411 648 × 2 = 0 + 0,719 691 712 823 296;
  • 35) 0,719 691 712 823 296 × 2 = 1 + 0,439 383 425 646 592;
  • 36) 0,439 383 425 646 592 × 2 = 0 + 0,878 766 851 293 184;
  • 37) 0,878 766 851 293 184 × 2 = 1 + 0,757 533 702 586 368;
  • 38) 0,757 533 702 586 368 × 2 = 1 + 0,515 067 405 172 736;
  • 39) 0,515 067 405 172 736 × 2 = 1 + 0,030 134 810 345 472;
  • 40) 0,030 134 810 345 472 × 2 = 0 + 0,060 269 620 690 944;
  • 41) 0,060 269 620 690 944 × 2 = 0 + 0,120 539 241 381 888;
  • 42) 0,120 539 241 381 888 × 2 = 0 + 0,241 078 482 763 776;
  • 43) 0,241 078 482 763 776 × 2 = 0 + 0,482 156 965 527 552;
  • 44) 0,482 156 965 527 552 × 2 = 0 + 0,964 313 931 055 104;
  • 45) 0,964 313 931 055 104 × 2 = 1 + 0,928 627 862 110 208;
  • 46) 0,928 627 862 110 208 × 2 = 1 + 0,857 255 724 220 416;
  • 47) 0,857 255 724 220 416 × 2 = 1 + 0,714 511 448 440 832;
  • 48) 0,714 511 448 440 832 × 2 = 1 + 0,429 022 896 881 664;
  • 49) 0,429 022 896 881 664 × 2 = 0 + 0,858 045 793 763 328;
  • 50) 0,858 045 793 763 328 × 2 = 1 + 0,716 091 587 526 656;
  • 51) 0,716 091 587 526 656 × 2 = 1 + 0,432 183 175 053 312;
  • 52) 0,432 183 175 053 312 × 2 = 0 + 0,864 366 350 106 624;
  • 53) 0,864 366 350 106 624 × 2 = 1 + 0,728 732 700 213 248;
  • 54) 0,728 732 700 213 248 × 2 = 1 + 0,457 465 400 426 496;
  • 55) 0,457 465 400 426 496 × 2 = 0 + 0,914 930 800 852 992;
  • 56) 0,914 930 800 852 992 × 2 = 1 + 0,829 861 601 705 984;
  • 57) 0,829 861 601 705 984 × 2 = 1 + 0,659 723 203 411 968;
  • 58) 0,659 723 203 411 968 × 2 = 1 + 0,319 446 406 823 936;
  • 59) 0,319 446 406 823 936 × 2 = 0 + 0,638 892 813 647 872;
  • 60) 0,638 892 813 647 872 × 2 = 1 + 0,277 785 627 295 744;
  • 61) 0,277 785 627 295 744 × 2 = 0 + 0,555 571 254 591 488;
  • 62) 0,555 571 254 591 488 × 2 = 1 + 0,111 142 509 182 976;
  • 63) 0,111 142 509 182 976 × 2 = 0 + 0,222 285 018 365 952;
  • 64) 0,222 285 018 365 952 × 2 = 0 + 0,444 570 036 731 904;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 469(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 0110 1101 1101 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 469(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 0110 1101 1101 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 469(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 0110 1101 1101 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 0110 1101 1101 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 0110 1101 1101 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 0110 1101 1101 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 0110 1101 1101 0100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 0110 1101 1101 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 0110 1101 1101 0100


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 469 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1110 0000 1111 0110 1101 1101 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 384 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100